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2026-07-21 08:59:32 +02:00
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2
lernmaterial/cheatsheet.aux
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@@ -2,4 +2,4 @@
\providecommand\babel@aux[2]{} \providecommand\babel@aux[2]{}
\@nameuse{bbl@beforestart} \@nameuse{bbl@beforestart}
\babel@aux{ngerman}{} \babel@aux{ngerman}{}
\gdef \@abspage@last{6} \gdef \@abspage@last{5}

81
lernmaterial/cheatsheet.log
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@@ -1,4 +1,4 @@
This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=pdflatex 2026.5.23) 20 JUL 2026 20:04 This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=pdflatex 2026.5.23) 21 JUL 2026 08:48
entering extended mode entering extended mode
restricted \write18 enabled. restricted \write18 enabled.
%&-line parsing enabled. %&-line parsing enabled.
@@ -255,64 +255,47 @@ LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 30.
(/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd (/usr/share/texlive/texmf-dist/tex/latex/amsfonts/umsb.fd
File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
) ) [1
Overfull \hbox (35.21254pt too wide) in paragraph at lines 40--41
[]\T1/cmr/bx/n/10 Quellen-Wahl bei frem-dem Prob-lem: \T1/cmr/m/n/10 Zahlen/Sum
men $\OMS/cmsy/m/n/10 !$ \T1/cmr/m/sc/10 Sub-set-Sum\T1/cmr/m/n/10 /\T1/cmr/m/s
c/10 Partition \TS1/cmr/m/n/10 · \T1/cmr/m/n/10 Knoten-Auswahl $\OMS/cmsy/m/n/1
0 !$ \T1/cmr/m/sc/10 Clique\T1/cmr/m/n/10 /\T1/cmr/m/sc/10 VC\T1/cmr/m/n/10 /\T
1/cmr/m/sc/10 IS
[]
[1 {/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2] [3] [4] [5] (./cheatsh
eet.aux)
{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2] [3] [4] [5]
Overfull \hbox (55.72345pt too wide) in paragraph at lines 279--280
\T1/cmr/m/n/10 Grad per Gad-get auf-füllen, ohne neue Lö-sun-gen zu schaf-fen (
Pendant-Dreiecke/Pfad-Gadgets, die keine neue Clique/Färbung/Tour
[]
[6] (./cheatsheet.aux)
*********** ***********
LaTeX2e <2023-11-01> patch level 1 LaTeX2e <2023-11-01> patch level 1
L3 programming layer <2024-01-22> L3 programming layer <2024-01-22>
*********** ***********
) )
Here is how much of TeX's memory you used: Here is how much of TeX's memory you used:
4657 strings out of 476182 4645 strings out of 476182
69584 string characters out of 5795595 69369 string characters out of 5795595
1941975 words of memory out of 5000000 1939975 words of memory out of 5000000
26628 multiletter control sequences out of 15000+600000 26619 multiletter control sequences out of 15000+600000
573955 words of font info for 76 fonts, out of 8000000 for 9000 572268 words of font info for 73 fonts, out of 8000000 for 9000
14 hyphenation exceptions out of 8191 14 hyphenation exceptions out of 8191
57i,8n,65p,529b,447s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s 57i,8n,65p,246b,447s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
</home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecti1000.60 </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecti1000.60
0pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecbx1200. 0pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/eccc1000.
600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/tcrm100 600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm100
0.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm1 0.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecbx1
000.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecc 000.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecb
c1000.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/e x1200.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/t
cbx1000.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec crm0900.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec
/tcrm0900.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ /ecrm0900.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/
ec/ecrm0900.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappe ec/ecbx1728.600pk></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm
n/ec/ecbx1728.600pk></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/ /cmex10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi1
cm/cmex10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmm 0.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi12.pfb>
i10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi12.pf </usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi5.pfb></usr/s
b></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi5.pfb></usr hare/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi7.pfb></usr/share/te
/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi7.pfb></usr/share/ xlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texlive/t
texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texlive exmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr/share/texlive/texmf-di
/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr/share/texlive/texmf- st/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts
dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr5.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fon /type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/p
ts/type1/public/amsfonts/cm/cmr7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1 ublic/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/
/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/ amsfonts/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfont
amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfon s/symbols/msbm10.pfb>
ts/cm/cmsy5.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/c Output written on cheatsheet.pdf (5 pages, 201458 bytes).
msy7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msb
m10.pfb>
Output written on cheatsheet.pdf (6 pages, 260672 bytes).
PDF statistics: PDF statistics:
438 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) 332 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
92 compressed objects within 1 object stream 80 compressed objects within 1 object stream
0 named destinations out of 1000 (max. 500000) 0 named destinations out of 1000 (max. 500000)
1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) 1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

BIN
lernmaterial/cheatsheet.pdf
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301
lernmaterial/cheatsheet.tex
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@@ -26,27 +26,10 @@
{\small Referenz: Definition · Beispiel · Reduktion · Konstruktion · ETH · Beweisidee je Richtung} {\small Referenz: Definition · Beispiel · Reduktion · Konstruktion · ETH · Beweisidee je Richtung}
\end{center} \end{center}
\textbf{Reduktionsbaum (Kurs):}
\[
\begin{array}{l}
\prob{Sat} \redp \text{3-\prob{Sat}} \redp k\text{-}\prob{Clique} \redp \prob{IndependentSet},\ \prob{VertexCover} \redp \prob{FVS},\ \Delta\prob{Cover}\\[2pt]
\text{3-\prob{Sat}} \redp \prob{HittingSet} \redp \prob{SetCover}; \quad \text{3-\prob{Sat}} \redp \prob{DominatingSet},\ k\text{-}\prob{Color} \redp \prob{CoverClique}\\[2pt]
\prob{Sat} \redp \text{3-DM} \redp \text{3-\prob{ExactCover}} \redp \prob{SubsetSum} \redp \prob{Partition} \redp P2\,\|\,C_{\max}; \quad \prob{SubsetSum} \redp \prob{Knapsack}\\[2pt]
\prob{VertexCover} \redp \prob{HamiltonianCycle} \leftrightarrow \prob{HamiltonianPath}; \quad \prob{HC} \redp \prob{TSP}\\[2pt]
\text{3-\prob{Sat}} \redp \text{NAE-4-\prob{Sat}} \redp \prob{SetSplitting}; \quad k\text{-}\prob{Clique} \redp \prob{GridTiling},\ 2|\mathrm{prec}|C_{\max}
\end{array}
\]
\textbf{Quellen-Wahl bei fremdem Problem:} Zahlen/Summen $\to$ \prob{SubsetSum}/\prob{Partition} · Knoten-Auswahl $\to$ \prob{Clique}/\prob{VC}/\prob{IS} · Touren/Reihenfolgen $\to$ \prob{HC}/\prob{HP} · Färbung/Partition in Klassen $\to$ $k$-\prob{Color} · Mengensysteme $\to$ \prob{HittingSet}/\prob{3-ExactCover} · Scheduling $\to$ \prob{Partition}/$P2\|C_{\max}$ · Zusatzeigenschaft auf bekanntem Problem $\to$ vom Grundproblem reduzieren, Eigenschaft per Gadget erzwingen.
\hrulefill
\pblock{SAT} \pblock{SAT}
\feld{Def} KNF-Formel $\varphi$; existiert erfüllende Belegung? \feld{Def} KNF-Formel $\varphi$; existiert erfüllende Belegung?
\feld{Bsp} $(x \vee y) \wedge (\bar x \vee y \vee z) \wedge (\bar y)$ -- ja: $x{=}0, y{=}0, z{=}1$. \feld{Bsp} $(x \vee y) \wedge (\bar x \vee y \vee z) \wedge (\bar y)$ -- ja: $x{=}0, y{=}0, z{=}1$.
\feld{Reduktion} Basis (Cook--Levin: jede NP-Sprache $\redp$ \prob{Sat}).
\feld{ETH} über 3-\prob{Sat}-Schranken.
\feld{Rolle} Startpunkt; Klauseln beliebig lang -- Vorsicht: SS24-Klausur verlangte $\prob{Sat} \redp k$-\prob{Clique}, nicht 3-\prob{Sat}!
\pblock{3-SAT} \pblock{3-SAT}
\feld{Def} KNF, jede Klausel $\le 3$ Literale; erfüllbar? \feld{Def} KNF, jede Klausel $\le 3$ Literale; erfüllbar?
@@ -55,229 +38,251 @@
\feld{Konstruktion} Lange Klausel $(\ell_1 \vee \dots \vee \ell_k)$ mit frischen $y_i$ zerhacken: $(\ell_1 \vee \ell_2 \vee y_1)(\bar y_1 \vee \ell_3 \vee y_2)\dots$ \feld{Konstruktion} Lange Klausel $(\ell_1 \vee \dots \vee \ell_k)$ mit frischen $y_i$ zerhacken: $(\ell_1 \vee \ell_2 \vee y_1)(\bar y_1 \vee \ell_3 \vee y_2)\dots$
\hin Erfülltes $\ell_j$ wählen, $y$-Kette davor wahr, danach falsch setzen. \hin Erfülltes $\ell_j$ wählen, $y$-Kette davor wahr, danach falsch setzen.
\rueck Wären alle $\ell_j$ falsch, erzwingt die $y$-Kette einen Widerspruch (Dominoeffekt). \rueck Wären alle $\ell_j$ falsch, erzwingt die $y$-Kette einen Widerspruch (Dominoeffekt).
\feld{ETH} nicht in $2^{o(n)}$; per \textbf{Sparsification-Lemma} auch nicht in $2^{o(m)}$. Merke: $n \le 3m$. \feld{ETH} $n$, $m$, $n \le 3m$.
\pblock{$k$-CLIQUE} \pblock{$k$-CLIQUE}
\feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existiert paarweise verbundene Knotenmenge $|C| \ge k$? \feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existiert paarweise verbundene Knotenmenge $|C| \ge k$?
\feld{Bsp} Dreieck $\{1,2,3\}$ plus Kante $\{3,4\}$: $k{=}3$ ja, $k{=}4$ nein. \feld{Bsp} Dreieck $\{1,2,3\}$ plus Kante $\{3,4\}$: $k{=}3$ ja, $k{=}4$ nein.
\feld{Reduktion} von \prob{Sat} (Vorlesung). \feld{Reduktion} von \prob{Sat} (Vorlesung).
\feld{Konstruktion} Knoten = Paare (Klausel $C_j$, Literal $\ell \in C_j$); Kante zwischen Paaren verschiedener Klauseln, außer $\ell = \bar\ell'$; $k = m$. \feld{Konstruktion}\\
-- $V' = \{(j, \ell) \mid j \in [m],\ \ell \in C_j\}$\\
-- $E' = \{\{(i, \ell), (j, \ell')\} \mid i, j \in [m],\ i \ne j,\ \ell \ne \bar\ell'\}$\\
-- $k' = m$
\hin Erfüllende Belegung: pro Klausel ein wahres Literal wählen -- paarweise kompatibel $\to$ $m$-Clique. \hin Erfüllende Belegung: pro Klausel ein wahres Literal wählen -- paarweise kompatibel $\to$ $m$-Clique.
\rueck $m$-Clique hat je Klausel genau einen Knoten; Literale widerspruchsfrei $\to$ Belegung erfüllt alle Klauseln. \rueck $m$-Clique hat je Klausel genau einen Knoten; Literale widerspruchsfrei $\to$ Belegung erfüllt alle Klauseln.
\feld{ETH} $|V| = O(m)$, $|E| = O(m^2)$, $k = m$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|V|)}$, $2^{o(\sqrt{|E|})}$, $2^{o(k)}$. \feld{ETH} $|V| = O(m)$, $|E| = O(m^2)$, $k = m$.
\pblock{$k$-INDEPENDENTSET} \pblock{$k$-INDEPENDENTSET}
\feld{Def} Existieren $k$ paarweise \emph{nicht} verbundene Knoten? \feld{Def} Existieren $k$ paarweise \emph{nicht} verbundene Knoten?
\feld{Bsp} Pfad $1{-}2{-}3{-}4$: $\{1,3\}$ oder $\{1,4\}$, $k{=}2$ ja. \feld{Bsp} Pfad $1{-}2{-}3{-}4$: $\{1,3\}$ oder $\{1,4\}$, $k{=}2$ ja.
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique}. \feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique}.
\feld{Konstruktion} Komplementgraph $\bar G$, gleiches $k$. \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' = k$.
\hin Clique in $G$ = keine Kanten in $\bar G$ = IS.
\rueck IS in $\bar G$ = alle Paare Kanten in $G$ = Clique.
\feld{ETH} $|V|$ gleich, $|E| \le |V|^2$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|V|)}$, $2^{o(\sqrt{|E|})}$.
\pblock{VERTEXCOVER} \pblock{VERTEXCOVER}
\feld{Def} Existiert $S$, $|S| \le k$, die jede Kante mit einem Endpunkt trifft? \feld{Def} Existiert $S$, $|S| \le k$, die jede Kante mit einem Endpunkt trifft?
\feld{Bsp} Stern (Zentrum $z$, 4 Blätter): $S = \{z\}$, $k{=}1$ ja. \feld{Bsp} Stern (Zentrum $z$, 4 Blätter): $S = \{z\}$, $k{=}1$ ja.
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique} (Präsenz 10.2). \feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique} (Präsenz 10.2).
\feld{Konstruktion} $\bar G$ und $k' = n - k$. \feld{Konstruktion}\\
-- $V' = V$\\
-- $E' = \bar E$\\
-- $k' = n - k$
\hin Clique $C$ in $G$ $\to$ $V \setminus C$ deckt $\bar G$: in $\bar G$ gibt es keine Kante innerhalb $C$. \hin Clique $C$ in $G$ $\to$ $V \setminus C$ deckt $\bar G$: in $\bar G$ gibt es keine Kante innerhalb $C$.
\rueck VC $V'$ in $\bar G$ $\to$ $V \setminus V'$ ist IS in $\bar G$ = Clique in $G$, Größe $\ge n - (n-k) = k$. \rueck VC $V'$ in $\bar G$ $\to$ $V \setminus V'$ ist IS in $\bar G$ = Clique in $G$, Größe $\ge n - (n-k) = k$.
\feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' \le |V|$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|V|)}$, $2^{o(\sqrt{|E|})}$, $2^{o(k)}$. \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' \le |V|$.
\pblock{FEEDBACKVERTEXSET (gerichtet)} \pblock{FEEDBACKVERTEXSET (gerichtet)}
\feld{Def} $X \subseteq V$, $|X| \le k$, sodass $G \setminus X$ kreisfrei. \feld{Def} $X \subseteq V$, $|X| \le k$, sodass $G \setminus X$ kreisfrei.
\feld{Bsp} Kreis $1 \to 2 \to 3 \to 1$: $X = \{1\}$, $k{=}1$ ja. \feld{Bsp} Kreis $1 \to 2 \to 3 \to 1$: $X = \{1\}$, $k{=}1$ ja.
\feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (HA 10.1). \feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (HA 10.1).
\feld{Konstruktion} Jede Kante $\{u,v\}$ durch beide Richtungen $(u,v), (v,u)$ ersetzen; $k$ übernehmen. \feld{Konstruktion}\\
-- $V' = V$\\
-- $E' = \{(u,v), (v,u) \mid \{u,v\} \in E\}$\\
-- $k' = k$
\hin VC entfernt $\to$ keine Kanten mehr $\to$ kreisfrei. \hin VC entfernt $\to$ keine Kanten mehr $\to$ kreisfrei.
\rueck Wäre Kante $\{u,v\}$ ungedeckt, bildet $(u,v,u)$ einen 2-Kreis -- Widerspruch. \rueck Wäre Kante $\{u,v\}$ ungedeckt, bildet $(u,v,u)$ einen 2-Kreis -- Widerspruch.
\feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| = O(|E|)$, $k' = k$.
\pblock{$\Delta$COVER (Dreiecksüberdeckung)} \pblock{$\Delta$COVER (Dreiecksüberdeckung)}
\feld{Def} $C_\Delta$, $|C_\Delta| \le k$: jedes Dreieck enthält einen Knoten aus $C_\Delta$. \feld{Def} $C_\Delta$, $|C_\Delta| \le k$: jedes Dreieck enthält einen Knoten aus $C_\Delta$.
\feld{Bsp} Zwei Dreiecke mit gemeinsamer Kante $\{u,v\}$: $C_\Delta = \{u\}$, $k{=}1$ ja. \feld{Bsp} Zwei Dreiecke mit gemeinsamer Kante $\{u,v\}$: $C_\Delta = \{u\}$, $k{=}1$ ja.
\feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (HA 11.1). \feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (HA 11.1).
\feld{Konstruktion} Pro Kante $e = \{u,v\}$ neuer Knoten $v_e$ mit Kanten zu $u, v$ -- jede Kante wird Dreieck; $k$ übernehmen. \feld{Konstruktion}\\
\hin VC trifft jede Kante, also jedes Alt-Dreieck \emph{und} jedes neue Dreieck $\{u, v, v_e\}$. \textbf{Achtung Korrektur H11:} auch Dreiecke, die schon in $G$ lagen, explizit abdecken! -- $V' = V \cup \{v_e \mid e \in E\}$\\
-- $E' = E \cup \{\{v_e, u\}, \{v_e, v\} \mid e = \{u,v\} \in E\}$\\
-- $k' = k$
\hin VC trifft jede Kante, also jedes Alt-Dreieck \emph{und} jedes neue Dreieck $\{u, v, v_e\}$.
\rueck ObdA $C_\Delta \subseteq V$ ($v_e$ durch $e_1$ tauschen, deckt weiter); dann trifft $C_\Delta$ jedes $\{u,v,v_e\}$, also jede Kante. \rueck ObdA $C_\Delta \subseteq V$ ($v_e$ durch $e_1$ tauschen, deckt weiter); dann trifft $C_\Delta$ jedes $\{u,v,v_e\}$, also jede Kante.
\feld{ETH} $|V'| = |V| + |E| \le 2|V|^2$, $|E'| = 3|E|$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(\sqrt{|V'|})}$, $2^{o(\sqrt{|E'|})}$ (aus VC-Schranken). \feld{ETH} $|V'| = O(|V|^2)$, $|E'| = O(|E|)$.
\pblock{HAMILTONIANCYCLE (HC)} \pblock{HAMILTONIANCYCLE (HC)}
\feld{Def} Kreis, der jeden Knoten genau einmal besucht? \feld{Def} Kreis, der jeden Knoten genau einmal besucht?
\feld{Bsp} $C_5$ (Fünfeck): ja. $K_{1,3}$ (Stern): nein. \feld{Bsp} $C_5$ (Fünfeck): ja. $K_{1,3}$ (Stern): nein.
\feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (Vorlesung) -- \textbf{Konstruktion nie selbst gefordert. Nur als Fakt zitieren.} \feld{Reduktion} von \prob{HP}.
\feld{Als Quelle} für \prob{HP} $\leftrightarrow$ \prob{HC}, \prob{TSP}, Hitchhiker's, \prob{LongestPath} ($k = n{-}1$). \feld{Konstruktion}\\
-- $V' = V \cup \{u\}$\\
-- $E' = E \cup \{\{u,v\} \mid v \in V\}$
\hin Ham-Pfad $v_1, \dots, v_n$ $\to$ Kreis $u, v_1, \dots, v_n, u$ (beide Anschlusskanten existieren via $u$).
\rueck HC in $G'$ besucht $u$ genau einmal; $u$ herausschneiden $\to$ Ham-Pfad über alle Altknoten in $G$.
\feld{ETH} $|V'| = O(|V|)$, $|E'| = O(|V|^2)$.
\pblock{HAMILTONIANPATH (HP) $\leftrightarrow$ HC} \pblock{HAMILTONIANPATH (HP)}
\feld{Def} Pfad, der jeden Knoten genau einmal besucht? \feld{Def} Pfad, der jeden Knoten genau einmal besucht?
\feld{HP von HC} Wähle $v$; füge Kopie $v^*$ (gleiche Nachbarn) plus Grad-1-Knoten $s$ an $v$, $t$ an $v^*$ an. \feld{Bsp} Pfad $1{-}2{-}3$: ja. $K_{1,3}$ (Stern): nein.
\feld{Reduktion} von \prob{HC}.
\feld{Konstruktion} Wähle $v$.\\
-- $V' = V \cup \{v^*, s, t\}$\\
-- $E' = E \cup \{\{v^*, w\} \mid \{v, w\} \in E\} \cup \{\{s, v\}, \{t, v^*\}\}$
\hin HC bei $v$ aufschneiden $\to$ Pfad $s, v, \dots, v^*, t$. \hin HC bei $v$ aufschneiden $\to$ Pfad $s, v, \dots, v^*, t$.
\rueck Pfad muss $s, t$ als Enden haben; $v \dots v^*$ zusammenkleben ergibt HC. \rueck Pfad muss $s, t$ als Enden haben; $v \dots v^*$ zusammenkleben ergibt HC.
\feld{HC von HP} Neuen Universalknoten $u$ (mit allen verbunden) hinzufügen. \feld{ETH} $|V'| = O(|V|)$, $|E'| = O(|V|^2)$.
\hin Pfad $+$ $u$ am Anfang/Ende schließt Kreis.
\rueck HC ohne $u$ ist Pfad über alle Altknoten.
\pblock{TSP (Entscheidung) + Inapproximierbarkeit} \pblock{TSP (Entscheidung)}
\feld{Def} Vollständiger Graph mit Distanzen, Budget $T$; Rundreise $\le T$? \feld{Def} Vollständiger Graph mit Distanzen, Budget $L$; Rundreise $\le L$?
\feld{Bsp} 4 Städte im Quadrat, Seitenlänge 1: OPT $= 4$. \feld{Bsp} 4 Städte im Quadrat, Seitenlänge 1: OPT $= 4$.
\feld{Reduktion} von \prob{HC}. \feld{Reduktion} von \prob{HC} (Skript).
\feld{Konstruktion} $d(u,v) = 1$ falls $\{u,v\} \in E$, sonst $2$; $T = n$. (Erfüllt sogar $\Delta$-Ungleichung!) \feld{Konstruktion}\\
\hin HC $\to$ Tour aus lauter 1er-Kanten, Länge $n$. -- $d(u,v) = 1$ falls $\{u,v\} \in E$, sonst $|V| + 1$\\
\rueck Tour $\le n$ kann keine 2er-Kante nutzen $\to$ alle Kanten in $E$ $\to$ HC. -- $L = |V|$
\feld{Inapprox (SS23!)} Nicht-Kanten stattdessen $= \alpha n + 1$. Ein $\alpha$-Approx-Algorithmus gäbe Tour $\le \alpha n$ gdw.\ HC existiert $\to$ entscheidet \prob{HC} in Polyzeit $\to$ $P = NP$. Für kein $\alpha$ Güte möglich, außer $P = NP$. \hin HC $\to$ Tour aus lauter 1er-Kanten, Länge $|V| = L$.
\rueck Schon eine Nicht-Kante kostet $|V| + 1 > L$ $\to$ Tour $\le L$ nutzt nur Kanten aus $E$ $\to$ HC.
\feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| = O(|V|^2)$, $L = |V|$.
\pblock{$k$-COLOR} \pblock{$k$-COLOR}
\feld{Def} Färbung $f: V \to [k]$ mit $f(u) \ne f(v)$ für Kanten? \feld{Def} Färbung $f: V \to [k]$ mit $f(u) \ne f(v)$ für Kanten?
\feld{Bsp} $C_5$: 3 Farben nötig; $C_4$: 2 reichen. \feld{Bsp} $C_5$: 3 Farben nötig; $C_4$: 2 reichen.
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} -- \textbf{in Klausuren stets gegeben, nie selbst konstruieren.} Nur Parameter zählen! \feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (Skript, vollständig).
\feld{ETH} nicht in $2^{o(|V|)}$ (stand SS25 als Hinweis dabei); Parameter der SS24-Reduktion: $|V| = O(n + m)$, $|E| = O(n^2 + nm)$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(\sqrt{|E|})}$. \feld{Konstruktion}\\
\feld{Als Quelle} NP-vollständig zitieren für: \prob{Precoloring}, \prob{CoverClique}, 3-\prob{Color}-Varianten. -- $V' = \{x_i, \bar x_i, v_i \mid i \in [n]\} \cup \{F_j \mid j \in [m]\} \cup \{z\}$\\
-- $E' = \{\{v_i, v_j\}, \{v_i, x_j\}, \{v_i, \bar x_j\} \mid i \ne j\} \cup \{\{x_i, \bar x_i\}\} \cup \{\{\ell, F_j\} \mid \text{Literal } \ell \notin C_j\} \cup \{\{v_i, z\}, \{F_j, z\}\}$\\
-- $k' = n{+}1$\\
Vorüberlegung: obdA $f(v_i) = i$, $f(z) = n{+}1$; dann $f(x_j), f(\bar x_j) \in \{j, n{+}1\}$ -- kodiert die Belegung.
\hin Wahres Literal bekommt Farbe $i$, falsches $n{+}1$; $F_j$ färbt man mit der Farbe eines erfüllenden Literals (keine Kante dorthin).
\rueck Wäre $F_j$ unerfüllt, sind alle Literale in $F_j$ mit $n{+}1$ gefärbt; $F_j$ sieht dann alle Farben $1, \dots, n{+}1$ -- Widerspruch.
\feld{ETH} $|V'| = O(m)$, $|E'| = O(m^2)$.
\pblock{$k$-COLOR-PRECOLORING} \pblock{$k$-COLOR-PRECOLORING}
\feld{Def} Zusätzlich: vorgegebene Knoten $v_1, \dots, v_k$ mit $f(v_i) = i$. \feld{Def} Zusätzlich: vorgegebene Knoten $v_1, \dots, v_k$ mit $f(v_i) = i$.
\feld{Bsp} Dreieck $v_1, v_2, w$ mit $k = 3$, $f(v_1){=}1$, $f(v_2){=}2$: $w$ bekommt Farbe 3 -- ja.
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Color}. \feld{Reduktion} von $k$-\prob{Color}.
\feld{Konstruktion} Füge frische Clique $v_1, \dots, v_k$ hinzu (untereinander verbunden, sonst isoliert); precolore $f(v_i) = i$. \feld{Konstruktion}\\
-- $V' = V \cup \{v_1, \dots, v_k\}$\\
-- $E' = E \cup \{\{v_i, v_j\} \mid i \ne j\}$\\
-- $k' = k$\\
-- ausgezeichnete Knoten: $v_1, \dots, v_k$ (die frischen)
\hin $k$-Färbung von $G$ bleibt gültig; neue Clique bekommt Farben $1..k$ per Definition. \hin $k$-Färbung von $G$ bleibt gültig; neue Clique bekommt Farben $1..k$ per Definition.
\rueck Einschränkung der Precoloring-Färbung auf $G$ ist $k$-Färbung. \rueck Einschränkung der Precoloring-Färbung auf $G$ ist $k$-Färbung.
\feld{Merke} Verifizierer braucht $v_1, \dots, v_k$ als Teil der \emph{Eingabe} (Klausur-Korrektur!) und muss ALLE Knoten prüfen, nicht nur $C$. \feld{ETH} $|V'| = O(|V|)$, $|E'| = O(|V|^2)$, $k' = k$.
\pblock{COVERCLIQUE} \pblock{COVERCLIQUE}
\feld{Def} $k$ paarweise disjunkte Cliquen, die $V$ überdecken? \feld{Def} $k$ paarweise disjunkte Cliquen, die $V$ überdecken?
\feld{Bsp} $C_4$ (Viereck): 2 Cliquen (gegenüberliegende Kanten) -- ja für $k{=}2$. \feld{Bsp} $C_4$ (Viereck): 2 Cliquen (gegenüberliegende Kanten) -- ja für $k{=}2$.
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Color} (SS25-Klausur). \feld{Reduktion} von $k$-\prob{Color} (SS25-Klausur).
\feld{Konstruktion} Komplementgraph $\bar G$, gleiches $k$. \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' = k$.
\hin Farbklassen sind IS in $G$ = Cliquen in $\bar G$; disjunkt, überdecken $V$.
\rueck Cliquen in $\bar G$ = IS in $G$ $\to$ als Farbklassen nutzen.
\feld{ETH} $|V|$ gleich $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|V|)}$; $|\bar E| \le |V|^2$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(\sqrt{|E|})}$.
\pblock{3-DIMENSIONALMATCHING (3-DM)} \pblock{3-DIMENSIONALMATCHING (3-DM)}
\feld{Def} Disjunkte Mengen $W, X, Y$ ($|W|{=}|X|{=}|Y|{=}q$), Tripel $T \subseteq W {\times} X {\times} Y$; $q$ disjunkte Tripel, die alles überdecken? \feld{Def} Disjunkte Mengen $W, X, Y$ ($|W|{=}|X|{=}|Y|{=}q$), Tripel $T \subseteq W {\times} X {\times} Y$; $q$ disjunkte Tripel, die alles überdecken?
\feld{Bsp} Ehe-Analogie mit 3 Geschlechtern: perfekte Dreier-Zuordnung. \feld{Bsp} Ehe-Analogie mit 3 Geschlechtern: perfekte Dreier-Zuordnung.
\feld{Reduktion} von \prob{Sat} (Vorlesung; auf 3-\prob{Sat}-Instanzen anwenden für ETH) -- \textbf{Konstruktion nie selbst gefordert. Nur Parameter und Kette merken.} \feld{Reduktion} von \prob{Sat} (Vorlesung; für ETH auf 3-\prob{Sat}-Instanzen anwenden).
\feld{ETH} $|W| = O(mn) \le O(m^2)$, $|T| = O(m^2 n^2) \le O(m^4)$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(\sqrt{|W|})}$, $2^{o(\sqrt[4]{|T|})}$. \feld{ETH} $|W| = O(m^2)$, $|T| = O(m^4)$.
\feld{Rolle} Glied der Kette zu \prob{X3C} $\to$ \prob{SubsetSum} (Präsenz 13.1).
\pblock{3-EXACTCOVER (X3C)} \pblock{3-EXACTCOVER (X3C)}
\feld{Def} Grundmenge $U$ ($|U| = 3q$), 3er-Mengen $F$; exakte Überdeckung durch disjunkte Mengen? \feld{Def} Grundmenge $U$ ($|U| = 3q$), 3er-Mengen $F$; exakte Überdeckung durch disjunkte Mengen?
\feld{Reduktion} von 3-DM (Spezialfall: Tripel als 3er-Mengen über $U = W \dot\cup X \dot\cup Y$). \feld{Bsp} $U = \{1,\dots,6\}$, $F = \{\{1,2,3\}, \{4,5,6\}, \{2,3,4\}\}$: ja (erste zwei Mengen).
\hin/\rueck identisch -- 3-DM \emph{ist} eine X3C-Instanz. \feld{Reduktion} von 3-DM.
\feld{ETH} $|U| = 3q$, $|F| = |T|$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(\sqrt{|U|})}$, $2^{o(\sqrt[4]{|F|})}$. \feld{ETH} $|U'| = O(|W|)$, $|F'| = |T|$.
\pblock{SUBSETSUM} \pblock{SUBSETSUM}
\feld{Def} Größen $a_1, \dots, a_n$, Ziel $T$; Teilmenge mit Summe genau $T$? \feld{Def} Größen $a_1, \dots, a_n$, Ziel $T$; Teilmenge mit Summe genau $T$?
\feld{Bsp} $\{3, 5, 7, 11\}$, $T = 12$: ja ($5 + 7$). \feld{Bsp} $\{3, 5, 7, 11\}$, $T = 12$: ja ($5 + 7$).
\feld{Reduktion 1} von X3C (Vorlesung): Menge $F_i \to$ Zahl $\sum_{u \in F_i} (|F|{+}1)^{u}$, $T = \sum_u (|F|{+}1)^u$ -- Basis verhindert Überträge. \feld{Reduktion} von X3C (Vorlesung).
\feld{Reduktion 2} von 3-\prob{Sat} (SS23-Klausur, Basis 10): $s(a_i) = 10^{i-1} + \sum_{x_i \in C_j} 10^{n+j-1}$, analog $b_i$ für $\bar x_i$; Slack $c_j, d_j = 10^{n+j-1}$; Ziel: Variablenziffern 1, Klauselziffern 3. \feld{Konstruktion}\\
\hin Belegung: pro Variable $a_i$ oder $b_i$ wählen; Klauselziffer wird $1..3$, Slacks füllen auf 3. -- $c_j = \sum_{u_i \in S_j} (n{+}1)^{i-1}$ (Menge als Bitvektor zur Basis $n{+}1$)\\
\rueck Keine Überträge (Basis groß genug) $\to$ Variablenziffer erzwingt genau ein Item pro Paar; Klauselziffer 3 braucht $\ge 1$ echtes Literal-Item (Slacks geben nur 2). -- $K = \sum_{j=0}^{3m-1} (n{+}1)^{j}$ (überall Ziffer 1)
\feld{ETH} bzgl.\ Itemzahl: nicht in $2^{o(\sqrt[4]{n})}$ (via X3C). Bzgl.\ $d$ (verschiedene Größen) und $L = \log \Delta$ (SS23!): beide $O(n + m)$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(d)}$, nicht in $2^{o(L)}$. \hin Exact Cover $\to$ jede Position genau einmal überdeckt $\to$ Summe $= K$.
\rueck $\le n$ Summanden, Basis $n{+}1$ $\to$ kein Übertrag $\to$ jede Position genau eine 1 $\to$ gewählte Mengen überdecken exakt.
\feld{ETH} $n' = |F|$.
\pblock{SUBSETSUM-Varianten (Padding-Trickkasten)} \pblock{SUBSETSUMCARDINALITY}
\feld{Cardinality ($|S| = n/2$)} Präsenz 11.3: $c_i' = c_i + 1$, plus $n$ Einser-Items, $T' = T + n$. \feld{Def} \prob{SubsetSum} mit Zusatz $|S| = n/2$ ($n$ gerade).
\hin Lösung $S$ mit Einsern auf Größe $n$ auffüllen. \rueck Einser-Items gleichen Kardinalität aus, Kern bleibt. \feld{Bsp} $\{1, 2, 3, 8\}$, $K = 9$, $|S| = 2$: ja ($1 + 8$).
\feld{$(a_1 = 1)$} Alle Größen $\times 2$, ein 1-Item dazu, $T' = 2T$: Parität verhindert Nutzung der 1. \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum} (Präsenz 11.3).
\feld{Teilbar durch 3 oder 7} Alle Größen und $T$ mit $21$ multiplizieren. \feld{Konstruktion}\\
\feld{Ohne Zweierpotenzen} Alle $\times 3$: $3a$ ist nie $2^k$ (ungerader Faktor); $T' = 3T$. -- $c_i' = c_i + 1$ für $i \in [n]$\\
\feld{AtMostTwoPerSize} \textbf{Kam SS24 als eigene Aufgabe -- Konstruktion können!} \skizze Idee: Vielfachheit $c$ einer Größe binär bündeln: Items $a, 2a, 4a, \dots$ je einmal -- alle Teilsummen $0..ca$ erreichbar. Gegen Musterlösung prüfen. -- $n$ Einser-Items: $c_{n+1}' = \dots = c_{2n}' = 1$\\
\feld{Muster} Immer: Ja-Instanzen exakt erhalten, Eigenschaft durch Skalierung/Padding erzwingen, Zieltransformation angeben. -- $K' = K + n$
\hin Lösung $S$ plus $n - |S|$ Einser: Kardinalität $n$, Summe $K + |S| + (n - |S|) = K + n$.
\rueck $S = S' \cap [n]$: Einser tragen $n - |S|$ bei $\to$ $\sum_{i \in S} c_i = K$.
\feld{ETH} $n' = O(n)$.
\pblock{$(a_1 = 1)$-SUBSETSUM}
\feld{Def} \prob{SubsetSum}, wobei $a_1 = 1$ gilt.
\feld{Bsp} $\{1, 4, 6\}$, $K = 7$: ja ($1 + 6$).
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}.
\feld{Konstruktion}\\
-- $a_1' = 1$\\
-- $a_{i+1}' = 2 c_i$ für $i \in [n]$\\
-- $K' = 2K$
\hin Lösung $S$ $\to$ verdoppelte Items summieren zu $2K$, ohne die 1.
\rueck $2K$ gerade, alle Items außer der 1 gerade $\to$ 1 nie nutzbar (Parität); halbieren ergibt Summe $K$.
\feld{ETH} $n' = O(n)$.
\pblock{SUBSETSUM MIT TEILBARKEIT (durch 3 oder 7)}
\feld{Def} \prob{SubsetSum}, jede Größe durch 3 oder durch 7 teilbar.
\feld{Bsp} $\{3, 7, 21\}$, $K = 10$: ja ($3 + 7$).
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}.
\feld{Konstruktion}\\
-- $a_i' = 21\, c_i$\\
-- $K' = 21\, K$
\hin Lösung skaliert mit: Summe $21K$.
\rueck Summe $21K$ durch 21 teilen $\to$ Summe $K$; $21c$ ist durch 3 und 7 teilbar.
\feld{ETH} $n' = n$.
\pblock{SUBSETSUM OHNE ZWEIERPOTENZEN}
\feld{Def} \prob{SubsetSum}, keine Größe ist eine Zweierpotenz $2^t$.
\feld{Bsp} $\{3, 5, 6\}$, $K = 9$: ja ($3 + 6$).
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}.
\feld{Konstruktion}\\
-- $a_i' = 3\, c_i$\\
-- $K' = 3K$
\hin Lösung skaliert mit: Summe $3K$.
\rueck Summe $3K$ durch 3 teilen; $3c$ ist nie $2^t$, da $3 \nmid 2^t$.
\feld{ETH} $n' = n$.
\pblock{PARTITION} \pblock{PARTITION}
\feld{Def} Zahlen in zwei Hälften gleicher Summe teilen? \feld{Def} Zahlen in zwei Hälften gleicher Summe teilen?
\feld{Bsp} $\{1, 2, 3, 4\}$: $\{1,4\} | \{2,3\}$ -- ja. \feld{Bsp} $\{1, 2, 3, 4\}$: $\{1,4\} | \{2,3\}$ -- ja.
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum} ($A = \sum a_i$). \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum} (Skript).
\feld{Konstruktion} Zwei Zusatz-Items $2A - T$ und $A + T$; Gesamtsumme $4A$, Hälfte $= 2A$. \feld{Konstruktion}\\
\hin Lösung $S$: Seite $S \cup \{2A - T\}$ hat $T + 2A - T = 2A$. -- $N = \sum_{j=1}^n c_j + 1$\\
\rueck Zusatz-Items nie zusammen ($3A > 2A$); Seite mit $2A - T$ enthält Items der Summe $T$. -- $c_{n+1} = N - K$, $c_{n+2} = K + 1$\\
-- Gesamtsumme $= 2N$, Hälfte $= N$
\hin Lösung $S$: $S \cup \{c_{n+1}\}$ summiert zu $K + (N - K) = N$.
\rueck $c_{n+1}, c_{n+2}$ nie zusammen (Summe $N + 1 > N$); obdA $c_{n+1} \in S$ $\to$ Rest von $S$ summiert zu $N - (N - K) = K$.
\feld{ETH} $n' = O(n)$.
\pblock{$P2\,\|\,C_{\max}$ (2 Maschinen)} \pblock{$P2\,\|\,C_{\max}$ (2 Maschinen)}
\feld{Def} Jobs auf 2 Maschinen, Makespan $\le T$? \feld{Def} Jobs auf 2 Maschinen, Makespan $\le T$?
\feld{Reduktion} von \prob{Partition}: Jobs = Zahlen, $T = \frac12 \sum p_j$. \feld{Bsp} Jobs $3,3,2,2,2$, $T = 6$: ja ($\{3,3\}$ und $\{2,2,2\}$).
\hin Partition = perfekt balancierter Schedule. \rueck Makespan $\frac12\sum$ erzwingt exakte Balance. \feld{Reduktion} von \prob{Partition}.
\feld{Konstruktion}\\
-- Jobs = Zahlen\\
-- $m = 2$\\
-- $T = \frac12 \sum p_j$
\hin Partition $=$ perfekt balancierter Schedule.
\rueck Makespan $\frac12 \sum$ erzwingt exakte Balance $=$ Partition.
\feld{ETH} $n' = n$, $T = O(\textstyle\sum a_i)$.
\pblock{KNAPSACK (Entscheidung)} \pblock{KNAPSACK (Entscheidung)}
\feld{Def} Gewichte $w_i$, Profite $p_i$, Kapazität $K$, Zielprofit $P$. \feld{Def} Gewichte $w_i$, Profite $p_i$; Auswahl mit $\sum w_i \le K$ und $\sum p_i \ge P$?
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}: $w_i = p_i = a_i$, $K = P = T$. \feld{Bsp} Items $(w,p)$: $(2,3), (3,4)$; $K = 3$, $P = 4$: ja (zweites Item).
\hin/\rueck Summe $= T$ gdw.\ Gewicht $\le T$ und Profit $\ge T$ gleichzeitig. \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}.
\feld{Konstruktion}\\
-- $w_i = p_i = a_i$\\
-- $K = P = T$
\hin Summe $= T$ $\to$ Gewicht $\le K$ und Profit $\ge P$.
\rueck Gewicht $\le T$ und Profit $\ge T$ zugleich $\to$ Summe exakt $T$.
\feld{ETH} $n' = n$, $K = P = T$.
\pblock{HITTINGSET} \pblock{HITTINGSET}
\feld{Def} Universum $U$, Mengen $F_1, \dots, F_r$, Zahl $k$; $H$, $|H| \le k$, trifft jede $F_i$? \feld{Def} Universum $U$, Mengen $F_1, \dots, F_r$, Zahl $k$; $H$, $|H| \le k$, trifft jede $F_i$?
\feld{Bsp} $U = \{1..5\}$, $F = \{1,2\}, \{2,3\}, \{4,5\}$: $H = \{2, 4\}$, $k{=}2$ ja. \feld{Bsp} $U = \{1..5\}$, $F = \{1,2\}, \{2,3\}, \{4,5\}$: $H = \{2, 4\}$, $k{=}2$ ja.
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (HA 12.2 / Probeklausur). \feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (HA 12.2 / Probeklausur).
\feld{Konstruktion} $U$ = Literale; Paar-Mengen $\{x_i, \bar x_i\}$, Klausel-Mengen $C_j$; $k = n$. \feld{ETH} $|U| = O(n)$, $r = O(m)$, $k = n$.
\hin Belegung $\to$ $H$ = wahre Literale: trifft jedes Paar (eines wahr) und jede Klausel (erfülltes Literal).
\rueck $k = n$ und $n$ disjunkte Paare $\to$ genau ein Literal pro Paar = Belegung; Klauselmengen getroffen = erfüllt.
\feld{ETH} $|U| = 2n$, $r = n + m \le 4m$, $k = n$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|U|)}$, $2^{o(r)}$ (Sparsification), $2^{o(k)}$.
\pblock{SETCOVER}
\feld{Def} Mengen $F_1, \dots, F_r$ über $U$; $k$ Mengen, deren Vereinigung $U$ ist?
\feld{Reduktion} von \prob{HittingSet} (SS23-Klausur; Rollen tauschen).
\feld{Konstruktion} Bipartite Inzidenz: neues Universum $U' = [r]$ (alte Mengen-Indizes); pro altes Element $w$ die Menge $F_w' = \{i \mid w \in F_i\}$; $k' = k$.
\hin Hitting-Set $H$ trifft jede $F_i$ $\leftrightarrow$ die Mengen $\{F_w' \mid w \in H\}$ überdecken $[r]$.
\rueck symmetrisch (Dualität: Element trifft Menge $=$ Menge enthält Element).
\feld{ETH} Parameter tauschen: $|U'| = r$, $r' = |U|$ $\Rightarrow$ \prob{SetCover} nicht in $2^{o(r)}$ und nicht in $2^{o(|U|)}$ (jeweils übersetzt).
\pblock{DOMINATINGSET}
\feld{Def} $M$, $|M| = k$: jeder Knoten in $M$ oder Nachbar von $M$.
\feld{Bsp} Stern: Zentrum dominiert alles, $k{=}1$.
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (SS24-Klausur).
\feld{Konstruktion} Pro Variable Dreieck $\{x_i, \bar x_i, d_i\}$; pro Klausel Knoten $C_j$ mit Kanten zu seinen Literalen; $k = n$.
\hin Belegung $\to$ $M$ = wahre Literale: dominiert Dreieck (alle drei benachbart) und $C_j$ (erfülltes Literal).
\rueck $k = n$ Dreiecke brauchen je einen Knoten ($d_i$ nur intern nützlich $\to$ obdA Literal); $C_j$ dominiert $\to$ ein Literal wahr.
\feld{ETH} $|V| = 3n + m = O(m)$, $|E| = 3n + 3m = O(m)$ (\textbf{linear!}) $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|V|)}$ und nicht in $2^{o(|E|)}$ -- Kanten OHNE Wurzel.
\pblock{NAE-4-SAT} \pblock{NAE-4-SAT}
\feld{Def} Klauseln $\le 4$ Literale; Belegung, sodass jede Klausel wahres UND falsches Literal hat (``not all equal'')? \feld{Def} Klauseln $\le 4$ Literale; Belegung, sodass jede Klausel wahres UND falsches Literal hat (``not all equal'')?
\feld{Bsp} $(x \vee y \vee z)$: $x{=}1, y{=}0$ -- ja. $(x)$ allein: nein (nie beides).
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (SS25-Klausur). \feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (SS25-Klausur).
\feld{Konstruktion} Frische Variable $w$; jede Klausel $C_i \to C_i \cup \{w\}$. \feld{ETH} $n' = O(n)$, $m' = m$.
\hin Erfüllende Belegung $+$ $w = $ falsch: wahres Literal existiert, $w$ ist das falsche.
\rueck NAE-Lösung; obdA $w = $ falsch (sonst alles flippen -- NAE bleibt!); dann hat jede Klausel ein wahres Original-Literal.
\feld{ETH} $n' = n + 1$, $m' = m$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(n)}$, $2^{o(m)}$.
\pblock{SETSPLITTING}
\feld{Def} Grundmenge $S$, Mengen $F_i$; Partition $S = S_1 \dot\cup S_2$, sodass jede $F_i$ beide Seiten trifft?
\feld{Reduktion} von NAE-4-\prob{Sat} (SS25-Klausur).
\feld{Konstruktion} $S$ = Literale; Paar-Mengen $\{x_i, \bar x_i\}$ + Klausel-Mengen $C_i$.
\hin NAE-Belegung: $S_1$ = wahre Literale. Paare gesplittet (eins wahr, eins falsch), Klauseln gesplittet (NAE!).
\rueck Splitting: Paar-Mengen erzwingen $x_i$, $\bar x_i$ auf verschiedenen Seiten $\to$ konsistente Belegung ($S_1$ = wahr); Klausel beidseitig = NAE.
\feld{ETH} $|S| = 2n$, $r = n + m$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|S|)}$, $2^{o(r)}$.
\pblock{GRIDTILING}
\feld{Def} $k \times k$ Gitter, Mengen $S_{i,j} \subseteq [n]^2$; Auswahl $e_{i,j} \in S_{i,j}$, zeilenweise gleiche 1.\ Komponente, spaltenweise gleiche 2.\ Komponente.
\feld{Reduktion} von \prob{Clique} (SS24-Klausur; $k \in \Theta(n)$ erlaubt).
\feld{Konstruktion} Diagonale $S_{i,i} = \{(a,a)\}$; sonst $S_{i,j} = \{(a,b) \mid \{a,b\} \in E, a \ne b\}$; $k$ übernehmen.
\hin Clique $v_1, \dots, v_k$: setze $e_{i,j} = (v_i, v_j)$ -- Konsistenz nach Konstruktion.
\rueck Zeilen-/Spaltenkonsistenz definiert $v_i$ (Diagonale erzwingt Paare $(a,a)$); Off-Diagonale erzwingt Kanten zwischen allen $v_i, v_j$.
\feld{ETH} $X = \sum |S_{i,j}| = O(k^2 |E|) = O(n^4)$, $Y = \max |S_{i,j}| = O(n^2)$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(\sqrt[4]{X})}$, $2^{o(\sqrt{Y})}$.
\pblock{$2\,|\,\mathrm{prec},\ p \in \{1,2\}\,|\,C_{\max}$}
\feld{Def} 2 Maschinen, Präzedenz-DAG, Zeiten 1/2; Makespan $\le T$?
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique} (SS24-Klausur, Konstruktion gegeben).
\feld{Konstruktion} \skizze Knoten-Jobs ($p{=}1$), Kanten-Jobs ($p{=}2$), $3|V| + 2|E|$ Dummies; Präzedenz Knoten $\to$ inzidente Kanten; $T = 2|V| + 2|E|$, $n = 4|V| + 3|E|$.
\hin Clique-Knoten früh einplanen, ihre Kanten füllen Lücken deadline-genau.
\rueck Enger Makespan erzwingt Clique-Struktur im frühen Fenster.
\feld{ETH} $n$ und $T$ linear in $|V| + |E|$; mit Clique-Schranke ($|E|$-Version, zusammenhängend): nicht in $2^{o(\sqrt{n})}$, $2^{o(\sqrt{T})}$.
\pblock{ILP-FEASIBILITY}
\feld{Def} $A x \le b$, $x \in \mathbb{Z}^N_{\ge 0}$ lösbar?
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (SS23-Klausur).
\feld{Konstruktion} Variable je Literal ($N = 2n$); pro Klausel $-\sum_{\ell \in C_i} x_\ell \le -1$; pro Variable $x_v + x_{\bar v} \le 1$ und $-x_v - x_{\bar v} \le -1$ ($M = m + 2n$).
\hin Belegung $\to$ 0/1-Vektor erfüllt alles.
\rueck Paar-Gleichungen erzwingen $x_v + x_{\bar v} = 1$ (0/1-Belegung); Klausel-Zeile = erfülltes Literal.
\feld{ETH} $M = O(m)$, $N = O(n)$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(M)}$, $2^{o(N)}$.
\pblock{HALT$_{\mathrm{TM}}$ (nur NP-schwer!)} \pblock{HALT$_{\mathrm{TM}}$ (nur NP-schwer!)}
\feld{Def} Hält DTM $M$ auf Wort $w$? \feld{Def} Hält DTM $M$ auf Wort $w$?
\feld{Bsp} $M$ = Endlosschleife auf jeder Eingabe: nein für jedes $w$.
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (HA 11.2). \feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (HA 11.2).
\feld{Konstruktion} $M_\varphi$: probiere alle $2^n$ Belegungen; falls eine erfüllt, halte; sonst Endlosschleife. $w = \langle \varphi \rangle$. \feld{Konstruktion}\\
-- $M_\varphi$: probiere alle $2^n$ Belegungen; falls eine erfüllt, halte; sonst Endlosschleife\\
-- $w = \langle \varphi \rangle$
\hin Erfüllbar $\to$ $M_\varphi$ findet Belegung und hält. \hin Erfüllbar $\to$ $M_\varphi$ findet Belegung und hält.
\rueck $M_\varphi$ hält nur im Erfolgsfall $\to$ erfüllbar. \rueck $M_\varphi$ hält nur im Erfolgsfall $\to$ erfüllbar.
\feld{Merke} NICHT in NP (unentscheidbar) $\to$ NP-schwer $\ne$ NP-vollständig. Reduktion muss polynomiell sein -- $M_\varphi$ wird nur \emph{konstruiert}, nicht ausgeführt!
\pblock{Klausur-Varianten-Tricks (Zusatzeigenschaft erzwingen)}
\feld{Universalknoten} $k$-\prob{CliqueUniversal} (HA 10.2): Universalknoten $u$ anhängen, $k' = k + 1$. Rück-Richtung: obdA $u$ in der Clique (sonst tauschen).
\feld{Verbotener Knoten} \prob{Clique-Nomember} (Präsenz 11.2): isolierten Knoten $v$ anhängen; isoliert $\to$ nie in einer Clique $\ge 2$.
\feld{Clique UND IS} \prob{CliqueAndIndependentSet} (SS24): $k$ isolierte Knoten anhängen $\to$ IS der Größe $k$ existiert immer; Clique unverändert.
\feld{Mindestgrad} $k$-\prob{Clique-Deg-3}, 3-\prob{Color} Grad 3, Hitchhiker's-\prob{HC} Grad 42: \skizze Grad per Gadget auffüllen, ohne neue Lösungen zu schaffen (Pendant-Dreiecke/Pfad-Gadgets, die keine neue Clique/Färbung/Tour ermöglichen). Bei HC: Gadget so, dass es von jedem Ham-Kreis zwangsläufig komplett durchlaufen wird.
\feld{Feste Kardinalität} \prob{SubsetSumCardinality}: $+1$-Shift und Einser-Padding (s.o.).
\feld{Grundmuster} Immer dieselben 5 Schritte: $\in$NP $\cdot$ Konstruktion $\cdot$ $\Rightarrow$ $\cdot$ $\Leftarrow$ (mit \emph{beliebiger} Lösung starten, obdA-Tausch) $\cdot$ Laufzeit + Schlusssatz.
\end{document} \end{document}