update

lernmaterial/cheatsheet.tex

@@ -35,7 +35,7 @@
 \feld{Def} KNF, jede Klausel $\le 3$ Literale; erfüllbar?
 \feld{Bsp} $(x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (\bar x_1 \vee \bar x_2 \vee \bar x_3)$ -- ja: $x_1{=}1, x_2{=}0$.
 \feld{Reduktion} von \prob{Sat}.
-\feld{Konstruktion} Lange Klausel $(\ell_1 \vee \dots \vee \ell_k)$ mit frischen $y_i$ zerhacken: $(\ell_1 \vee \ell_2 \vee y_1)(\bar y_1 \vee \ell_3 \vee y_2)\dots$
+\feld{Konstruktion} Lange Klausel $(\ell_1 \vee \dots \vee \ell_k)$ mit frischen $y_i$ zerhacken: $(\ell_1 \vee \ell_2 \vee y_1)(\bar y_1 \vee \ell_3 \vee y_2)\dots$ $O(|\varphi|)$
 \hin Erfülltes $\ell_j$ wählen, $y$-Kette davor wahr, danach falsch setzen.
 \rueck Wären alle $\ell_j$ falsch, erzwingt die $y$-Kette einen Widerspruch (Dominoeffekt).
 \feld{ETH} $n$, $m$, $n \le 3m$.
@@ -45,73 +45,79 @@
 \feld{Bsp} Dreieck $\{1,2,3\}$ plus Kante $\{3,4\}$: $k{=}3$ ja, $k{=}4$ nein.
 \feld{Reduktion} von \prob{Sat} (Vorlesung).
 \feld{Konstruktion}\\
--- $V' = \{(j, \ell) \mid j \in [m],\ \ell \in C_j\}$\\
--- $E' = \{\{(i, \ell), (j, \ell')\} \mid i, j \in [m],\ i \ne j,\ \ell \ne \bar\ell'\}$\\
--- $k' = m$
+-- $V' = \{(j, \ell) \mid j \in [m],\ \ell \in C_j\}$ \quad $O(|\varphi|)$\\
+-- $E' = \{\{(i, \ell), (j, \ell')\} \mid i, j \in [m],\ i \ne j,\ \ell \ne \bar\ell'\}$ \quad $O(|\varphi|^2)$\\
+-- $k' = m$ \quad $O(1)$
 \hin Erfüllende Belegung: pro Klausel ein wahres Literal wählen -- paarweise kompatibel $\to$ $m$-Clique.
 \rueck $m$-Clique hat je Klausel genau einen Knoten; Literale widerspruchsfrei $\to$ Belegung erfüllt alle Klauseln.
 \feld{ETH} $|V| = O(m)$, $|E| = O(m^2)$, $k = m$.
 
 \pblock{$k$-INDEPENDENTSET}
-\feld{Def} Existieren $k$ paarweise \emph{nicht} verbundene Knoten?
+\feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existieren $k$ paarweise \emph{nicht} verbundene Knoten?
 \feld{Bsp} Pfad $1{-}2{-}3{-}4$: $\{1,3\}$ oder $\{1,4\}$, $k{=}2$ ja.
 \feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique}.
+\feld{Konstruktion}\\
+-- $V' = V$ \quad $O(|V|)$\\
+-- $E' = \bar E$ \quad $O(|V|^2)$\\
+-- $k' = k$ \quad $O(1)$
+\hin Clique $C$ in $G$: keine $C$-interne Kante in $\bar G$ $\to$ IS der Größe $k$.
+\rueck IS $S$ in $\bar G$: jedes Paar aus $S$ ist Kante in $G$ $\to$ Clique der Größe $k$.
 \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' = k$.
 
 \pblock{VERTEXCOVER}
-\feld{Def} Existiert $S$, $|S| \le k$, die jede Kante mit einem Endpunkt trifft?
+\feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existiert $S \subseteq V$, $|S| \le k$, die jede Kante mit einem Endpunkt trifft?
 \feld{Bsp} Stern (Zentrum $z$, 4 Blätter): $S = \{z\}$, $k{=}1$ ja.
 \feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique} (Präsenz 10.2).
 \feld{Konstruktion}\\
--- $V' = V$\\
--- $E' = \bar E$\\
--- $k' = n - k$
+-- $V' = V$ \quad $O(|V|)$\\
+-- $E' = \bar E$ \quad $O(|V|^2)$\\
+-- $k' = n - k$ \quad $O(1)$
 \hin Clique $C$ in $G$ $\to$ $V \setminus C$ deckt $\bar G$: in $\bar G$ gibt es keine Kante innerhalb $C$.
 \rueck VC $V'$ in $\bar G$ $\to$ $V \setminus V'$ ist IS in $\bar G$ = Clique in $G$, Größe $\ge n - (n-k) = k$.
 \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' \le |V|$.
 
 \pblock{FEEDBACKVERTEXSET (gerichtet)}
-\feld{Def} $X \subseteq V$, $|X| \le k$, sodass $G \setminus X$ kreisfrei.
+\feld{Def} Gerichteter Graph $G$, Zahl $k$; existiert $X \subseteq V$, $|X| \le k$, sodass $G \setminus X$ kreisfrei?
 \feld{Bsp} Kreis $1 \to 2 \to 3 \to 1$: $X = \{1\}$, $k{=}1$ ja.
 \feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (HA 10.1).
 \feld{Konstruktion}\\
--- $V' = V$\\
--- $E' = \{(u,v), (v,u) \mid \{u,v\} \in E\}$\\
--- $k' = k$
+-- $V' = V$ \quad $O(|V|)$\\
+-- $E' = \{(u,v), (v,u) \mid \{u,v\} \in E\}$ \quad $O(|E|)$\\
+-- $k' = k$ \quad $O(1)$
 \hin VC entfernt $\to$ keine Kanten mehr $\to$ kreisfrei.
 \rueck Wäre Kante $\{u,v\}$ ungedeckt, bildet $(u,v,u)$ einen 2-Kreis -- Widerspruch.
 \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| = O(|E|)$, $k' = k$.
 
 \pblock{$\Delta$COVER (Dreiecksüberdeckung)}
-\feld{Def} $C_\Delta$, $|C_\Delta| \le k$: jedes Dreieck enthält einen Knoten aus $C_\Delta$.
+\feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existiert $C_\Delta$, $|C_\Delta| \le k$, die jedes Dreieck trifft?
 \feld{Bsp} Zwei Dreiecke mit gemeinsamer Kante $\{u,v\}$: $C_\Delta = \{u\}$, $k{=}1$ ja.
 \feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (HA 11.1).
 \feld{Konstruktion}\\
--- $V' = V \cup \{v_e \mid e \in E\}$\\
--- $E' = E \cup \{\{v_e, u\}, \{v_e, v\} \mid e = \{u,v\} \in E\}$\\
--- $k' = k$
+-- $V' = V \cup \{v_e \mid e \in E\}$ \quad $O(|V| + |E|)$\\
+-- $E' = E \cup \{\{v_e, u\}, \{v_e, v\} \mid e = \{u,v\} \in E\}$ \quad $O(|E|)$\\
+-- $k' = k$ \quad $O(1)$
 \hin VC trifft jede Kante, also jedes Alt-Dreieck \emph{und} jedes neue Dreieck $\{u, v, v_e\}$.
 \rueck ObdA $C_\Delta \subseteq V$ ($v_e$ durch $e_1$ tauschen, deckt weiter); dann trifft $C_\Delta$ jedes $\{u,v,v_e\}$, also jede Kante.
 \feld{ETH} $|V'| = O(|V|^2)$, $|E'| = O(|E|)$.
 
 \pblock{HAMILTONIANCYCLE (HC)}
-\feld{Def} Kreis, der jeden Knoten genau einmal besucht?
+\feld{Def} Graph $G$; existiert Kreis, der jeden Knoten genau einmal besucht?
 \feld{Bsp} $C_5$ (Fünfeck): ja. $K_{1,3}$ (Stern): nein.
 \feld{Reduktion} von \prob{HP}.
 \feld{Konstruktion}\\
--- $V' = V \cup \{u\}$\\
--- $E' = E \cup \{\{u,v\} \mid v \in V\}$
+-- $V' = V \cup \{u\}$ \quad $O(|V|)$\\
+-- $E' = E \cup \{\{u,v\} \mid v \in V\}$ \quad $O(|V| + |E|)$
 \hin Ham-Pfad $v_1, \dots, v_n$ $\to$ Kreis $u, v_1, \dots, v_n, u$ (beide Anschlusskanten existieren via $u$).
 \rueck HC in $G'$ besucht $u$ genau einmal; $u$ herausschneiden $\to$ Ham-Pfad über alle Altknoten in $G$.
 \feld{ETH} $|V'| = O(|V|)$, $|E'| = O(|V|^2)$.
 
 \pblock{HAMILTONIANPATH (HP)}
-\feld{Def} Pfad, der jeden Knoten genau einmal besucht?
+\feld{Def} Graph $G$; existiert Pfad, der jeden Knoten genau einmal besucht?
 \feld{Bsp} Pfad $1{-}2{-}3$: ja. $K_{1,3}$ (Stern): nein.
 \feld{Reduktion} von \prob{HC}.
 \feld{Konstruktion} Wähle $v$.\\
--- $V' = V \cup \{v^*, s, t\}$\\
--- $E' = E \cup \{\{v^*, w\} \mid \{v, w\} \in E\} \cup \{\{s, v\}, \{t, v^*\}\}$
+-- $V' = V \cup \{v^*, s, t\}$ \quad $O(|V|)$\\
+-- $E' = E \cup \{\{v^*, w\} \mid \{v, w\} \in E\} \cup \{\{s, v\}, \{t, v^*\}\}$ \quad $O(|E|)$
 \hin HC bei $v$ aufschneiden $\to$ Pfad $s, v, \dots, v^*, t$.
 \rueck Pfad muss $s, t$ als Enden haben; $v \dots v^*$ zusammenkleben ergibt HC.
 \feld{ETH} $|V'| = O(|V|)$, $|E'| = O(|V|^2)$.
@@ -121,40 +127,40 @@
 \feld{Bsp} 4 Städte im Quadrat, Seitenlänge 1: OPT $= 4$.
 \feld{Reduktion} von \prob{HC} (Skript).
 \feld{Konstruktion}\\
--- $d(u,v) = 1$ falls $\{u,v\} \in E$, sonst $|V| + 1$\\
--- $L = |V|$
+-- $d(u,v) = 1$ falls $\{u,v\} \in E$, sonst $|V| + 1$ \quad $O(|V|^2)$\\
+-- $L = |V|$ \quad $O(1)$
 \hin HC $\to$ Tour aus lauter 1er-Kanten, Länge $|V| = L$.
 \rueck Schon eine Nicht-Kante kostet $|V| + 1 > L$ $\to$ Tour $\le L$ nutzt nur Kanten aus $E$ $\to$ HC.
 \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| = O(|V|^2)$, $L = |V|$.
 
 \pblock{$k$-COLOR}
-\feld{Def} Färbung $f: V \to [k]$ mit $f(u) \ne f(v)$ für Kanten?
+\feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existiert Färbung $f: V \to [k]$ mit $f(u) \ne f(v)$ für Kanten?
 \feld{Bsp} $C_5$: 3 Farben nötig; $C_4$: 2 reichen.
 \feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (Skript, vollständig).
 \feld{Konstruktion}\\
--- $V' = \{x_i, \bar x_i, v_i \mid i \in [n]\} \cup \{F_j \mid j \in [m]\} \cup \{z\}$\\
--- $E' = \{\{v_i, v_j\}, \{v_i, x_j\}, \{v_i, \bar x_j\} \mid i \ne j\} \cup \{\{x_i, \bar x_i\}\} \cup \{\{\ell, F_j\} \mid \text{Literal } \ell \notin C_j\} \cup \{\{v_i, z\}, \{F_j, z\}\}$\\
--- $k' = n{+}1$\\
+-- $V' = \{x_i, \bar x_i, v_i \mid i \in [n]\} \cup \{F_j \mid j \in [m]\} \cup \{z\}$ \quad $O(n + m)$\\
+-- $E' = \{\{v_i, v_j\}, \{v_i, x_j\}, \{v_i, \bar x_j\} \mid i \ne j\} \cup \{\{x_i, \bar x_i\}\} \cup \{\{\ell, F_j\} \mid \text{Literal } \ell \notin C_j\} \cup \{\{v_i, z\}, \{F_j, z\}\}$ \quad $O(n^2 + nm)$\\
+-- $k' = n{+}1$ \quad $O(1)$\\
 Vorüberlegung: obdA $f(v_i) = i$, $f(z) = n{+}1$; dann $f(x_j), f(\bar x_j) \in \{j, n{+}1\}$ -- kodiert die Belegung.
 \hin Wahres Literal bekommt Farbe $i$, falsches $n{+}1$; $F_j$ färbt man mit der Farbe eines erfüllenden Literals (keine Kante dorthin).
 \rueck Wäre $F_j$ unerfüllt, sind alle Literale in $F_j$ mit $n{+}1$ gefärbt; $F_j$ sieht dann alle Farben $1, \dots, n{+}1$ -- Widerspruch.
 \feld{ETH} $|V'| = O(m)$, $|E'| = O(m^2)$.
 
 \pblock{$k$-COLOR-PRECOLORING}
-\feld{Def} Zusätzlich: vorgegebene Knoten $v_1, \dots, v_k$ mit $f(v_i) = i$.
+\feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$, Knoten $v_1, \dots, v_k$; existiert $k$-Färbung mit $f(v_i) = i$?
 \feld{Bsp} Dreieck $v_1, v_2, w$ mit $k = 3$, $f(v_1){=}1$, $f(v_2){=}2$: $w$ bekommt Farbe 3 -- ja.
 \feld{Reduktion} von $k$-\prob{Color}.
 \feld{Konstruktion}\\
--- $V' = V \cup \{v_1, \dots, v_k\}$\\
--- $E' = E \cup \{\{v_i, v_j\} \mid i \ne j\}$\\
--- $k' = k$\\
--- ausgezeichnete Knoten: $v_1, \dots, v_k$ (die frischen)
+-- $V' = V \cup \{v_1, \dots, v_k\}$ \quad $O(|V| + k)$\\
+-- $E' = E \cup \{\{v_i, v_j\} \mid i \ne j\}$ \quad $O(|E| + k^2)$\\
+-- $k' = k$ \quad $O(1)$\\
+-- ausgezeichnete Knoten: $v_1, \dots, v_k$ (die frischen) \quad $O(k)$
 \hin $k$-Färbung von $G$ bleibt gültig; neue Clique bekommt Farben $1..k$ per Definition.
 \rueck Einschränkung der Precoloring-Färbung auf $G$ ist $k$-Färbung.
 \feld{ETH} $|V'| = O(|V|)$, $|E'| = O(|V|^2)$, $k' = k$.
 
 \pblock{COVERCLIQUE}
-\feld{Def} $k$ paarweise disjunkte Cliquen, die $V$ überdecken?
+\feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existieren $k$ paarweise disjunkte Cliquen, die $V$ überdecken?
 \feld{Bsp} $C_4$ (Viereck): 2 Cliquen (gegenüberliegende Kanten) -- ja für $k{=}2$.
 \feld{Reduktion} von $k$-\prob{Color} (SS25-Klausur).
 \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' = k$.
@@ -176,95 +182,95 @@ Vorüberlegung: obdA $f(v_i) = i$, $f(z) = n{+}1$; dann $f(x_j), f(\bar x_j) \in
 \feld{Bsp} $\{3, 5, 7, 11\}$, $T = 12$: ja ($5 + 7$).
 \feld{Reduktion} von X3C (Vorlesung).
 \feld{Konstruktion}\\
--- $c_j = \sum_{u_i \in S_j} (n{+}1)^{i-1}$ (Menge als Bitvektor zur Basis $n{+}1$)\\
--- $K = \sum_{j=0}^{3m-1} (n{+}1)^{j}$ (überall Ziffer 1)
+-- $c_j = \sum_{u_i \in S_j} (n{+}1)^{i-1}$ (Menge als Bitvektor zur Basis $n{+}1$) \quad $O(|F| \cdot |U|)$\\
+-- $K = \sum_{j=0}^{3m-1} (n{+}1)^{j}$ (überall Ziffer 1) \quad $O(|U|)$
 \hin Exact Cover $\to$ jede Position genau einmal überdeckt $\to$ Summe $= K$.
 \rueck $\le n$ Summanden, Basis $n{+}1$ $\to$ kein Übertrag $\to$ jede Position genau eine 1 $\to$ gewählte Mengen überdecken exakt.
 \feld{ETH} $n' = |F|$.
 
 \pblock{SUBSETSUMCARDINALITY}
-\feld{Def} \prob{SubsetSum} mit Zusatz $|S| = n/2$ ($n$ gerade).
+\feld{Def} Größen $c_1, \dots, c_n$ ($n$ gerade), Ziel $K$; existiert $S$ mit Summe $K$ und $|S| = n/2$?
 \feld{Bsp} $\{1, 2, 3, 8\}$, $K = 9$, $|S| = 2$: ja ($1 + 8$).
 \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum} (Präsenz 11.3).
 \feld{Konstruktion}\\
--- $c_i' = c_i + 1$ für $i \in [n]$\\
--- $n$ Einser-Items: $c_{n+1}' = \dots = c_{2n}' = 1$\\
--- $K' = K + n$
+-- $c_i' = c_i + 1$ für $i \in [n]$ \quad $O(n)$\\
+-- $n$ Einser-Items: $c_{n+1}' = \dots = c_{2n}' = 1$ \quad $O(n)$\\
+-- $K' = K + n$ \quad $O(1)$
 \hin Lösung $S$ plus $n - |S|$ Einser: Kardinalität $n$, Summe $K + |S| + (n - |S|) = K + n$.
 \rueck $S = S' \cap [n]$: Einser tragen $n - |S|$ bei $\to$ $\sum_{i \in S} c_i = K$.
 \feld{ETH} $n' = O(n)$.
 
 \pblock{$(a_1 = 1)$-SUBSETSUM}
-\feld{Def} \prob{SubsetSum}, wobei $a_1 = 1$ gilt.
+\feld{Def} \prob{SubsetSum}-Instanz mit $a_1 = 1$; Teilmenge mit Summe genau $K$?
 \feld{Bsp} $\{1, 4, 6\}$, $K = 7$: ja ($1 + 6$).
 \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}.
 \feld{Konstruktion}\\
--- $a_1' = 1$\\
--- $a_{i+1}' = 2 c_i$ für $i \in [n]$\\
--- $K' = 2K$
+-- $a_1' = 1$ \quad $O(1)$\\
+-- $a_{i+1}' = 2 c_i$ für $i \in [n]$ \quad $O(n)$\\
+-- $K' = 2K$ \quad $O(1)$
 \hin Lösung $S$ $\to$ verdoppelte Items summieren zu $2K$, ohne die 1.
 \rueck $2K$ gerade, alle Items außer der 1 gerade $\to$ 1 nie nutzbar (Parität); halbieren ergibt Summe $K$.
 \feld{ETH} $n' = O(n)$.
 
 \pblock{SUBSETSUM MIT TEILBARKEIT (durch 3 oder 7)}
-\feld{Def} \prob{SubsetSum}, jede Größe durch 3 oder durch 7 teilbar.
+\feld{Def} \prob{SubsetSum}-Instanz, jede Größe durch 3 oder 7 teilbar; Teilmenge mit Summe genau $K$?
 \feld{Bsp} $\{3, 7, 21\}$, $K = 10$: ja ($3 + 7$).
 \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}.
 \feld{Konstruktion}\\
--- $a_i' = 21\, c_i$\\
--- $K' = 21\, K$
+-- $a_i' = 21\, c_i$ \quad $O(n)$\\
+-- $K' = 21\, K$ \quad $O(1)$
 \hin Lösung skaliert mit: Summe $21K$.
 \rueck Summe $21K$ durch 21 teilen $\to$ Summe $K$; $21c$ ist durch 3 und 7 teilbar.
 \feld{ETH} $n' = n$.
 
 \pblock{SUBSETSUM OHNE ZWEIERPOTENZEN}
-\feld{Def} \prob{SubsetSum}, keine Größe ist eine Zweierpotenz $2^t$.
+\feld{Def} \prob{SubsetSum}-Instanz, keine Größe eine Zweierpotenz $2^t$; Teilmenge mit Summe genau $K$?
 \feld{Bsp} $\{3, 5, 6\}$, $K = 9$: ja ($3 + 6$).
 \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}.
 \feld{Konstruktion}\\
--- $a_i' = 3\, c_i$\\
--- $K' = 3K$
+-- $a_i' = 3\, c_i$ \quad $O(n)$\\
+-- $K' = 3K$ \quad $O(1)$
 \hin Lösung skaliert mit: Summe $3K$.
 \rueck Summe $3K$ durch 3 teilen; $3c$ ist nie $2^t$, da $3 \nmid 2^t$.
 \feld{ETH} $n' = n$.
 
 \pblock{PARTITION}
-\feld{Def} Zahlen in zwei Hälften gleicher Summe teilen?
+\feld{Def} Zahlen $c_1, \dots, c_n$; existiert $S$ mit $\sum_{i \in S} c_i = \frac12 \sum_i c_i$?
 \feld{Bsp} $\{1, 2, 3, 4\}$: $\{1,4\} | \{2,3\}$ -- ja.
 \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum} (Skript).
 \feld{Konstruktion}\\
--- $N = \sum_{j=1}^n c_j + 1$\\
--- $c_{n+1} = N - K$, $c_{n+2} = K + 1$\\
+-- $N = \sum_{j=1}^n c_j + 1$ \quad $O(n)$\\
+-- $c_{n+1} = N - K$, $c_{n+2} = K + 1$ \quad $O(1)$\\
 -- Gesamtsumme $= 2N$, Hälfte $= N$
 \hin Lösung $S$: $S \cup \{c_{n+1}\}$ summiert zu $K + (N - K) = N$.
 \rueck $c_{n+1}, c_{n+2}$ nie zusammen (Summe $N + 1 > N$); obdA $c_{n+1} \in S$ $\to$ Rest von $S$ summiert zu $N - (N - K) = K$.
 \feld{ETH} $n' = O(n)$.
 
 \pblock{$P2\,\|\,C_{\max}$ (2 Maschinen)}
-\feld{Def} Jobs auf 2 Maschinen, Makespan $\le T$?
+\feld{Def} Jobs $p_1, \dots, p_n$, Schranke $T$; Schedule auf 2 Maschinen mit Makespan $\le T$?
 \feld{Bsp} Jobs $3,3,2,2,2$, $T = 6$: ja ($\{3,3\}$ und $\{2,2,2\}$).
 \feld{Reduktion} von \prob{Partition}.
 \feld{Konstruktion}\\
--- Jobs = Zahlen\\
--- $m = 2$\\
--- $T = \frac12 \sum p_j$
+-- Jobs = Zahlen \quad $O(n)$\\
+-- $m = 2$ \quad $O(1)$\\
+-- $T = \frac12 \sum p_j$ \quad $O(n)$
 \hin Partition $=$ perfekt balancierter Schedule.
 \rueck Makespan $\frac12 \sum$ erzwingt exakte Balance $=$ Partition.
 \feld{ETH} $n' = n$, $T = O(\textstyle\sum a_i)$.
 
 \pblock{KNAPSACK (Entscheidung)}
-\feld{Def} Gewichte $w_i$, Profite $p_i$; Auswahl mit $\sum w_i \le K$ und $\sum p_i \ge P$?
+\feld{Def} Gewichte $w_i$, Profite $p_i$, Schranken $K, P$; Auswahl mit $\sum w_i \le K$ und $\sum p_i \ge P$?
 \feld{Bsp} Items $(w,p)$: $(2,3), (3,4)$; $K = 3$, $P = 4$: ja (zweites Item).
 \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}.
 \feld{Konstruktion}\\
--- $w_i = p_i = a_i$\\
--- $K = P = T$
+-- $w_i = p_i = a_i$ \quad $O(n)$\\
+-- $K = P = T$ \quad $O(1)$
 \hin Summe $= T$ $\to$ Gewicht $\le K$ und Profit $\ge P$.
 \rueck Gewicht $\le T$ und Profit $\ge T$ zugleich $\to$ Summe exakt $T$.
 \feld{ETH} $n' = n$, $K = P = T$.
 
 \pblock{HITTINGSET}
-\feld{Def} Universum $U$, Mengen $F_1, \dots, F_r$, Zahl $k$; $H$, $|H| \le k$, trifft jede $F_i$?
+\feld{Def} Universum $U$, Mengen $F_1, \dots, F_r$, Zahl $k$; existiert $H$, $|H| \le k$, das jede $F_i$ trifft?
 \feld{Bsp} $U = \{1..5\}$, $F = \{1,2\}, \{2,3\}, \{4,5\}$: $H = \{2, 4\}$, $k{=}2$ ja.
 \feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (HA 12.2 / Probeklausur).
 \feld{ETH} $|U| = O(n)$, $r = O(m)$, $k = n$.
@@ -276,12 +282,12 @@ Vorüberlegung: obdA $f(v_i) = i$, $f(z) = n{+}1$; dann $f(x_j), f(\bar x_j) \in
 \feld{ETH} $n' = O(n)$, $m' = m$.
 
 \pblock{HALT$_{\mathrm{TM}}$ (nur NP-schwer!)}
-\feld{Def} Hält DTM $M$ auf Wort $w$?
+\feld{Def} DTM $M$, Wort $w$; hält $M$ auf $w$?
 \feld{Bsp} $M$ = Endlosschleife auf jeder Eingabe: nein für jedes $w$.
 \feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (HA 11.2).
 \feld{Konstruktion}\\
--- $M_\varphi$: probiere alle $2^n$ Belegungen; falls eine erfüllt, halte; sonst Endlosschleife\\
--- $w = \langle \varphi \rangle$
+-- $M_\varphi$: probiere alle $2^n$ Belegungen; falls eine erfüllt, halte; sonst Endlosschleife \quad $O(|\varphi|)$\\
+-- $w = \langle \varphi \rangle$ \quad $O(|\varphi|)$
 \hin Erfüllbar $\to$ $M_\varphi$ findet Belegung und hält.
 \rueck $M_\varphi$ hält nur im Erfolgsfall $\to$ erfüllbar.