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2026-07-24 11:25:13 +02:00
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lernmaterial/cheatsheet.log
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@@ -1,4 +1,4 @@
This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=pdflatex 2026.5.23) 21 JUL 2026 09:11 This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=pdflatex 2026.5.23) 21 JUL 2026 13:24
entering extended mode entering extended mode
restricted \write18 enabled. restricted \write18 enabled.
%&-line parsing enabled. %&-line parsing enabled.
@@ -257,45 +257,44 @@ LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 30.
File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
) [1 ) [1
{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2] [3] [4] [5] [6] [7] (. {/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}{/usr/share/texmf/fonts/enc/
/cheatsheet.aux) dvips/cm-super/cm-super-t1.enc}{/usr/share/texmf/fonts/enc/dvips/cm-super/cm-su
per-ts1.enc}]
[2] [3] [4] [5] [6] [7] (./cheatsheet.aux)
*********** ***********
LaTeX2e <2023-11-01> patch level 1 LaTeX2e <2023-11-01> patch level 1
L3 programming layer <2024-01-22> L3 programming layer <2024-01-22>
*********** ***********
) )
Here is how much of TeX's memory you used: Here is how much of TeX's memory you used:
4645 strings out of 476182 4647 strings out of 476182
69369 string characters out of 5795595 69400 string characters out of 5795595
1940975 words of memory out of 5000000 1940975 words of memory out of 5000000
26619 multiletter control sequences out of 15000+600000 26619 multiletter control sequences out of 15000+600000
572268 words of font info for 73 fonts, out of 8000000 for 9000 572268 words of font info for 73 fonts, out of 8000000 for 9000
14 hyphenation exceptions out of 8191 14 hyphenation exceptions out of 8191
57i,8n,65p,246b,447s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s 57i,8n,65p,248b,447s stack positions out of 10000i,1000n,20000p,200000b,200000s
</home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecti1000.60 </usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmex10.pfb></us
0pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/eccc1000. r/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi10.pfb></usr/shar
600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecrm100 e/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi12.pfb></usr/share/texl
0.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecbx1 ive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi5.pfb></usr/share/texlive/tex
000.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/ecb mf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist
x1200.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec/t /fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/
crm0900.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ec type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/p
/ecrm0900.600pk> </home/arbeit/.texlive2023/texmf-var/fonts/pk/ljfour/jknappen/ ublic/amsfonts/cm/cmr7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/am
ec/ecbx1728.600pk></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm sfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/c
/cmex10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi1 m/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmsy
0.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi12.pfb> 7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/symbols/msbm10
</usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi5.pfb></usr/s .pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1000.pfb></usr/share/tex
hare/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmmi7.pfb></usr/share/te mf/fonts/type1/public/cm-super/sfbx1200.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/publi
xlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr10.pfb></usr/share/texlive/t c/cm-super/sfbx1728.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfcc1000.
exmf-dist/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr12.pfb></usr/share/texlive/texmf-di pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public/cm-super/sfrm0900.pfb></usr/share/texm
st/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts f/fonts/type1/public/cm-super/sfrm1000.pfb></usr/share/texmf/fonts/type1/public
/type1/public/amsfonts/cm/cmr8.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/p /cm-super/sfti1000.pfb>
ublic/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/ Output written on cheatsheet.pdf (7 pages, 280532 bytes).
amsfonts/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfont
s/symbols/msbm10.pfb>
Output written on cheatsheet.pdf (7 pages, 219818 bytes).
PDF statistics: PDF statistics:
363 PDF objects out of 1000 (max. 8388607) 128 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
86 compressed objects within 1 object stream 79 compressed objects within 1 object stream
0 named destinations out of 1000 (max. 500000) 0 named destinations out of 1000 (max. 500000)
1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000) 1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)

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136
lernmaterial/cheatsheet.tex
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@@ -35,7 +35,7 @@
\feld{Def} KNF, jede Klausel $\le 3$ Literale; erfüllbar? \feld{Def} KNF, jede Klausel $\le 3$ Literale; erfüllbar?
\feld{Bsp} $(x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (\bar x_1 \vee \bar x_2 \vee \bar x_3)$ -- ja: $x_1{=}1, x_2{=}0$. \feld{Bsp} $(x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (\bar x_1 \vee \bar x_2 \vee \bar x_3)$ -- ja: $x_1{=}1, x_2{=}0$.
\feld{Reduktion} von \prob{Sat}. \feld{Reduktion} von \prob{Sat}.
\feld{Konstruktion} Lange Klausel $(\ell_1 \vee \dots \vee \ell_k)$ mit frischen $y_i$ zerhacken: $(\ell_1 \vee \ell_2 \vee y_1)(\bar y_1 \vee \ell_3 \vee y_2)\dots$ \feld{Konstruktion} Lange Klausel $(\ell_1 \vee \dots \vee \ell_k)$ mit frischen $y_i$ zerhacken: $(\ell_1 \vee \ell_2 \vee y_1)(\bar y_1 \vee \ell_3 \vee y_2)\dots$ $O(|\varphi|)$
\hin Erfülltes $\ell_j$ wählen, $y$-Kette davor wahr, danach falsch setzen. \hin Erfülltes $\ell_j$ wählen, $y$-Kette davor wahr, danach falsch setzen.
\rueck Wären alle $\ell_j$ falsch, erzwingt die $y$-Kette einen Widerspruch (Dominoeffekt). \rueck Wären alle $\ell_j$ falsch, erzwingt die $y$-Kette einen Widerspruch (Dominoeffekt).
\feld{ETH} $n$, $m$, $n \le 3m$. \feld{ETH} $n$, $m$, $n \le 3m$.
@@ -45,73 +45,79 @@
\feld{Bsp} Dreieck $\{1,2,3\}$ plus Kante $\{3,4\}$: $k{=}3$ ja, $k{=}4$ nein. \feld{Bsp} Dreieck $\{1,2,3\}$ plus Kante $\{3,4\}$: $k{=}3$ ja, $k{=}4$ nein.
\feld{Reduktion} von \prob{Sat} (Vorlesung). \feld{Reduktion} von \prob{Sat} (Vorlesung).
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $V' = \{(j, \ell) \mid j \in [m],\ \ell \in C_j\}$\\ -- $V' = \{(j, \ell) \mid j \in [m],\ \ell \in C_j\}$ \quad $O(|\varphi|)$\\
-- $E' = \{\{(i, \ell), (j, \ell')\} \mid i, j \in [m],\ i \ne j,\ \ell \ne \bar\ell'\}$\\ -- $E' = \{\{(i, \ell), (j, \ell')\} \mid i, j \in [m],\ i \ne j,\ \ell \ne \bar\ell'\}$ \quad $O(|\varphi|^2)$\\
-- $k' = m$ -- $k' = m$ \quad $O(1)$
\hin Erfüllende Belegung: pro Klausel ein wahres Literal wählen -- paarweise kompatibel $\to$ $m$-Clique. \hin Erfüllende Belegung: pro Klausel ein wahres Literal wählen -- paarweise kompatibel $\to$ $m$-Clique.
\rueck $m$-Clique hat je Klausel genau einen Knoten; Literale widerspruchsfrei $\to$ Belegung erfüllt alle Klauseln. \rueck $m$-Clique hat je Klausel genau einen Knoten; Literale widerspruchsfrei $\to$ Belegung erfüllt alle Klauseln.
\feld{ETH} $|V| = O(m)$, $|E| = O(m^2)$, $k = m$. \feld{ETH} $|V| = O(m)$, $|E| = O(m^2)$, $k = m$.
\pblock{$k$-INDEPENDENTSET} \pblock{$k$-INDEPENDENTSET}
\feld{Def} Existieren $k$ paarweise \emph{nicht} verbundene Knoten? \feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existieren $k$ paarweise \emph{nicht} verbundene Knoten?
\feld{Bsp} Pfad $1{-}2{-}3{-}4$: $\{1,3\}$ oder $\{1,4\}$, $k{=}2$ ja. \feld{Bsp} Pfad $1{-}2{-}3{-}4$: $\{1,3\}$ oder $\{1,4\}$, $k{=}2$ ja.
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique}. \feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique}.
\feld{Konstruktion}\\
-- $V' = V$ \quad $O(|V|)$\\
-- $E' = \bar E$ \quad $O(|V|^2)$\\
-- $k' = k$ \quad $O(1)$
\hin Clique $C$ in $G$: keine $C$-interne Kante in $\bar G$ $\to$ IS der Größe $k$.
\rueck IS $S$ in $\bar G$: jedes Paar aus $S$ ist Kante in $G$ $\to$ Clique der Größe $k$.
\feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' = k$. \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' = k$.
\pblock{VERTEXCOVER} \pblock{VERTEXCOVER}
\feld{Def} Existiert $S$, $|S| \le k$, die jede Kante mit einem Endpunkt trifft? \feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existiert $S \subseteq V$, $|S| \le k$, die jede Kante mit einem Endpunkt trifft?
\feld{Bsp} Stern (Zentrum $z$, 4 Blätter): $S = \{z\}$, $k{=}1$ ja. \feld{Bsp} Stern (Zentrum $z$, 4 Blätter): $S = \{z\}$, $k{=}1$ ja.
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique} (Präsenz 10.2). \feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique} (Präsenz 10.2).
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $V' = V$\\ -- $V' = V$ \quad $O(|V|)$\\
-- $E' = \bar E$\\ -- $E' = \bar E$ \quad $O(|V|^2)$\\
-- $k' = n - k$ -- $k' = n - k$ \quad $O(1)$
\hin Clique $C$ in $G$ $\to$ $V \setminus C$ deckt $\bar G$: in $\bar G$ gibt es keine Kante innerhalb $C$. \hin Clique $C$ in $G$ $\to$ $V \setminus C$ deckt $\bar G$: in $\bar G$ gibt es keine Kante innerhalb $C$.
\rueck VC $V'$ in $\bar G$ $\to$ $V \setminus V'$ ist IS in $\bar G$ = Clique in $G$, Größe $\ge n - (n-k) = k$. \rueck VC $V'$ in $\bar G$ $\to$ $V \setminus V'$ ist IS in $\bar G$ = Clique in $G$, Größe $\ge n - (n-k) = k$.
\feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' \le |V|$. \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' \le |V|$.
\pblock{FEEDBACKVERTEXSET (gerichtet)} \pblock{FEEDBACKVERTEXSET (gerichtet)}
\feld{Def} $X \subseteq V$, $|X| \le k$, sodass $G \setminus X$ kreisfrei. \feld{Def} Gerichteter Graph $G$, Zahl $k$; existiert $X \subseteq V$, $|X| \le k$, sodass $G \setminus X$ kreisfrei?
\feld{Bsp} Kreis $1 \to 2 \to 3 \to 1$: $X = \{1\}$, $k{=}1$ ja. \feld{Bsp} Kreis $1 \to 2 \to 3 \to 1$: $X = \{1\}$, $k{=}1$ ja.
\feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (HA 10.1). \feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (HA 10.1).
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $V' = V$\\ -- $V' = V$ \quad $O(|V|)$\\
-- $E' = \{(u,v), (v,u) \mid \{u,v\} \in E\}$\\ -- $E' = \{(u,v), (v,u) \mid \{u,v\} \in E\}$ \quad $O(|E|)$\\
-- $k' = k$ -- $k' = k$ \quad $O(1)$
\hin VC entfernt $\to$ keine Kanten mehr $\to$ kreisfrei. \hin VC entfernt $\to$ keine Kanten mehr $\to$ kreisfrei.
\rueck Wäre Kante $\{u,v\}$ ungedeckt, bildet $(u,v,u)$ einen 2-Kreis -- Widerspruch. \rueck Wäre Kante $\{u,v\}$ ungedeckt, bildet $(u,v,u)$ einen 2-Kreis -- Widerspruch.
\feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| = O(|E|)$, $k' = k$. \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| = O(|E|)$, $k' = k$.
\pblock{$\Delta$COVER (Dreiecksüberdeckung)} \pblock{$\Delta$COVER (Dreiecksüberdeckung)}
\feld{Def} $C_\Delta$, $|C_\Delta| \le k$: jedes Dreieck enthält einen Knoten aus $C_\Delta$. \feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existiert $C_\Delta$, $|C_\Delta| \le k$, die jedes Dreieck trifft?
\feld{Bsp} Zwei Dreiecke mit gemeinsamer Kante $\{u,v\}$: $C_\Delta = \{u\}$, $k{=}1$ ja. \feld{Bsp} Zwei Dreiecke mit gemeinsamer Kante $\{u,v\}$: $C_\Delta = \{u\}$, $k{=}1$ ja.
\feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (HA 11.1). \feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (HA 11.1).
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $V' = V \cup \{v_e \mid e \in E\}$\\ -- $V' = V \cup \{v_e \mid e \in E\}$ \quad $O(|V| + |E|)$\\
-- $E' = E \cup \{\{v_e, u\}, \{v_e, v\} \mid e = \{u,v\} \in E\}$\\ -- $E' = E \cup \{\{v_e, u\}, \{v_e, v\} \mid e = \{u,v\} \in E\}$ \quad $O(|E|)$\\
-- $k' = k$ -- $k' = k$ \quad $O(1)$
\hin VC trifft jede Kante, also jedes Alt-Dreieck \emph{und} jedes neue Dreieck $\{u, v, v_e\}$. \hin VC trifft jede Kante, also jedes Alt-Dreieck \emph{und} jedes neue Dreieck $\{u, v, v_e\}$.
\rueck ObdA $C_\Delta \subseteq V$ ($v_e$ durch $e_1$ tauschen, deckt weiter); dann trifft $C_\Delta$ jedes $\{u,v,v_e\}$, also jede Kante. \rueck ObdA $C_\Delta \subseteq V$ ($v_e$ durch $e_1$ tauschen, deckt weiter); dann trifft $C_\Delta$ jedes $\{u,v,v_e\}$, also jede Kante.
\feld{ETH} $|V'| = O(|V|^2)$, $|E'| = O(|E|)$. \feld{ETH} $|V'| = O(|V|^2)$, $|E'| = O(|E|)$.
\pblock{HAMILTONIANCYCLE (HC)} \pblock{HAMILTONIANCYCLE (HC)}
\feld{Def} Kreis, der jeden Knoten genau einmal besucht? \feld{Def} Graph $G$; existiert Kreis, der jeden Knoten genau einmal besucht?
\feld{Bsp} $C_5$ (Fünfeck): ja. $K_{1,3}$ (Stern): nein. \feld{Bsp} $C_5$ (Fünfeck): ja. $K_{1,3}$ (Stern): nein.
\feld{Reduktion} von \prob{HP}. \feld{Reduktion} von \prob{HP}.
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $V' = V \cup \{u\}$\\ -- $V' = V \cup \{u\}$ \quad $O(|V|)$\\
-- $E' = E \cup \{\{u,v\} \mid v \in V\}$ -- $E' = E \cup \{\{u,v\} \mid v \in V\}$ \quad $O(|V| + |E|)$
\hin Ham-Pfad $v_1, \dots, v_n$ $\to$ Kreis $u, v_1, \dots, v_n, u$ (beide Anschlusskanten existieren via $u$). \hin Ham-Pfad $v_1, \dots, v_n$ $\to$ Kreis $u, v_1, \dots, v_n, u$ (beide Anschlusskanten existieren via $u$).
\rueck HC in $G'$ besucht $u$ genau einmal; $u$ herausschneiden $\to$ Ham-Pfad über alle Altknoten in $G$. \rueck HC in $G'$ besucht $u$ genau einmal; $u$ herausschneiden $\to$ Ham-Pfad über alle Altknoten in $G$.
\feld{ETH} $|V'| = O(|V|)$, $|E'| = O(|V|^2)$. \feld{ETH} $|V'| = O(|V|)$, $|E'| = O(|V|^2)$.
\pblock{HAMILTONIANPATH (HP)} \pblock{HAMILTONIANPATH (HP)}
\feld{Def} Pfad, der jeden Knoten genau einmal besucht? \feld{Def} Graph $G$; existiert Pfad, der jeden Knoten genau einmal besucht?
\feld{Bsp} Pfad $1{-}2{-}3$: ja. $K_{1,3}$ (Stern): nein. \feld{Bsp} Pfad $1{-}2{-}3$: ja. $K_{1,3}$ (Stern): nein.
\feld{Reduktion} von \prob{HC}. \feld{Reduktion} von \prob{HC}.
\feld{Konstruktion} Wähle $v$.\\ \feld{Konstruktion} Wähle $v$.\\
-- $V' = V \cup \{v^*, s, t\}$\\ -- $V' = V \cup \{v^*, s, t\}$ \quad $O(|V|)$\\
-- $E' = E \cup \{\{v^*, w\} \mid \{v, w\} \in E\} \cup \{\{s, v\}, \{t, v^*\}\}$ -- $E' = E \cup \{\{v^*, w\} \mid \{v, w\} \in E\} \cup \{\{s, v\}, \{t, v^*\}\}$ \quad $O(|E|)$
\hin HC bei $v$ aufschneiden $\to$ Pfad $s, v, \dots, v^*, t$. \hin HC bei $v$ aufschneiden $\to$ Pfad $s, v, \dots, v^*, t$.
\rueck Pfad muss $s, t$ als Enden haben; $v \dots v^*$ zusammenkleben ergibt HC. \rueck Pfad muss $s, t$ als Enden haben; $v \dots v^*$ zusammenkleben ergibt HC.
\feld{ETH} $|V'| = O(|V|)$, $|E'| = O(|V|^2)$. \feld{ETH} $|V'| = O(|V|)$, $|E'| = O(|V|^2)$.
@@ -121,40 +127,40 @@
\feld{Bsp} 4 Städte im Quadrat, Seitenlänge 1: OPT $= 4$. \feld{Bsp} 4 Städte im Quadrat, Seitenlänge 1: OPT $= 4$.
\feld{Reduktion} von \prob{HC} (Skript). \feld{Reduktion} von \prob{HC} (Skript).
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $d(u,v) = 1$ falls $\{u,v\} \in E$, sonst $|V| + 1$\\ -- $d(u,v) = 1$ falls $\{u,v\} \in E$, sonst $|V| + 1$ \quad $O(|V|^2)$\\
-- $L = |V|$ -- $L = |V|$ \quad $O(1)$
\hin HC $\to$ Tour aus lauter 1er-Kanten, Länge $|V| = L$. \hin HC $\to$ Tour aus lauter 1er-Kanten, Länge $|V| = L$.
\rueck Schon eine Nicht-Kante kostet $|V| + 1 > L$ $\to$ Tour $\le L$ nutzt nur Kanten aus $E$ $\to$ HC. \rueck Schon eine Nicht-Kante kostet $|V| + 1 > L$ $\to$ Tour $\le L$ nutzt nur Kanten aus $E$ $\to$ HC.
\feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| = O(|V|^2)$, $L = |V|$. \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| = O(|V|^2)$, $L = |V|$.
\pblock{$k$-COLOR} \pblock{$k$-COLOR}
\feld{Def} Färbung $f: V \to [k]$ mit $f(u) \ne f(v)$ für Kanten? \feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existiert Färbung $f: V \to [k]$ mit $f(u) \ne f(v)$ für Kanten?
\feld{Bsp} $C_5$: 3 Farben nötig; $C_4$: 2 reichen. \feld{Bsp} $C_5$: 3 Farben nötig; $C_4$: 2 reichen.
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (Skript, vollständig). \feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (Skript, vollständig).
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $V' = \{x_i, \bar x_i, v_i \mid i \in [n]\} \cup \{F_j \mid j \in [m]\} \cup \{z\}$\\ -- $V' = \{x_i, \bar x_i, v_i \mid i \in [n]\} \cup \{F_j \mid j \in [m]\} \cup \{z\}$ \quad $O(n + m)$\\
-- $E' = \{\{v_i, v_j\}, \{v_i, x_j\}, \{v_i, \bar x_j\} \mid i \ne j\} \cup \{\{x_i, \bar x_i\}\} \cup \{\{\ell, F_j\} \mid \text{Literal } \ell \notin C_j\} \cup \{\{v_i, z\}, \{F_j, z\}\}$\\ -- $E' = \{\{v_i, v_j\}, \{v_i, x_j\}, \{v_i, \bar x_j\} \mid i \ne j\} \cup \{\{x_i, \bar x_i\}\} \cup \{\{\ell, F_j\} \mid \text{Literal } \ell \notin C_j\} \cup \{\{v_i, z\}, \{F_j, z\}\}$ \quad $O(n^2 + nm)$\\
-- $k' = n{+}1$\\ -- $k' = n{+}1$ \quad $O(1)$\\
Vorüberlegung: obdA $f(v_i) = i$, $f(z) = n{+}1$; dann $f(x_j), f(\bar x_j) \in \{j, n{+}1\}$ -- kodiert die Belegung. Vorüberlegung: obdA $f(v_i) = i$, $f(z) = n{+}1$; dann $f(x_j), f(\bar x_j) \in \{j, n{+}1\}$ -- kodiert die Belegung.
\hin Wahres Literal bekommt Farbe $i$, falsches $n{+}1$; $F_j$ färbt man mit der Farbe eines erfüllenden Literals (keine Kante dorthin). \hin Wahres Literal bekommt Farbe $i$, falsches $n{+}1$; $F_j$ färbt man mit der Farbe eines erfüllenden Literals (keine Kante dorthin).
\rueck Wäre $F_j$ unerfüllt, sind alle Literale in $F_j$ mit $n{+}1$ gefärbt; $F_j$ sieht dann alle Farben $1, \dots, n{+}1$ -- Widerspruch. \rueck Wäre $F_j$ unerfüllt, sind alle Literale in $F_j$ mit $n{+}1$ gefärbt; $F_j$ sieht dann alle Farben $1, \dots, n{+}1$ -- Widerspruch.
\feld{ETH} $|V'| = O(m)$, $|E'| = O(m^2)$. \feld{ETH} $|V'| = O(m)$, $|E'| = O(m^2)$.
\pblock{$k$-COLOR-PRECOLORING} \pblock{$k$-COLOR-PRECOLORING}
\feld{Def} Zusätzlich: vorgegebene Knoten $v_1, \dots, v_k$ mit $f(v_i) = i$. \feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$, Knoten $v_1, \dots, v_k$; existiert $k$-Färbung mit $f(v_i) = i$?
\feld{Bsp} Dreieck $v_1, v_2, w$ mit $k = 3$, $f(v_1){=}1$, $f(v_2){=}2$: $w$ bekommt Farbe 3 -- ja. \feld{Bsp} Dreieck $v_1, v_2, w$ mit $k = 3$, $f(v_1){=}1$, $f(v_2){=}2$: $w$ bekommt Farbe 3 -- ja.
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Color}. \feld{Reduktion} von $k$-\prob{Color}.
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $V' = V \cup \{v_1, \dots, v_k\}$\\ -- $V' = V \cup \{v_1, \dots, v_k\}$ \quad $O(|V| + k)$\\
-- $E' = E \cup \{\{v_i, v_j\} \mid i \ne j\}$\\ -- $E' = E \cup \{\{v_i, v_j\} \mid i \ne j\}$ \quad $O(|E| + k^2)$\\
-- $k' = k$\\ -- $k' = k$ \quad $O(1)$\\
-- ausgezeichnete Knoten: $v_1, \dots, v_k$ (die frischen) -- ausgezeichnete Knoten: $v_1, \dots, v_k$ (die frischen) \quad $O(k)$
\hin $k$-Färbung von $G$ bleibt gültig; neue Clique bekommt Farben $1..k$ per Definition. \hin $k$-Färbung von $G$ bleibt gültig; neue Clique bekommt Farben $1..k$ per Definition.
\rueck Einschränkung der Precoloring-Färbung auf $G$ ist $k$-Färbung. \rueck Einschränkung der Precoloring-Färbung auf $G$ ist $k$-Färbung.
\feld{ETH} $|V'| = O(|V|)$, $|E'| = O(|V|^2)$, $k' = k$. \feld{ETH} $|V'| = O(|V|)$, $|E'| = O(|V|^2)$, $k' = k$.
\pblock{COVERCLIQUE} \pblock{COVERCLIQUE}
\feld{Def} $k$ paarweise disjunkte Cliquen, die $V$ überdecken? \feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existieren $k$ paarweise disjunkte Cliquen, die $V$ überdecken?
\feld{Bsp} $C_4$ (Viereck): 2 Cliquen (gegenüberliegende Kanten) -- ja für $k{=}2$. \feld{Bsp} $C_4$ (Viereck): 2 Cliquen (gegenüberliegende Kanten) -- ja für $k{=}2$.
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Color} (SS25-Klausur). \feld{Reduktion} von $k$-\prob{Color} (SS25-Klausur).
\feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' = k$. \feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' = k$.
@@ -176,95 +182,95 @@ Vorüberlegung: obdA $f(v_i) = i$, $f(z) = n{+}1$; dann $f(x_j), f(\bar x_j) \in
\feld{Bsp} $\{3, 5, 7, 11\}$, $T = 12$: ja ($5 + 7$). \feld{Bsp} $\{3, 5, 7, 11\}$, $T = 12$: ja ($5 + 7$).
\feld{Reduktion} von X3C (Vorlesung). \feld{Reduktion} von X3C (Vorlesung).
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $c_j = \sum_{u_i \in S_j} (n{+}1)^{i-1}$ (Menge als Bitvektor zur Basis $n{+}1$)\\ -- $c_j = \sum_{u_i \in S_j} (n{+}1)^{i-1}$ (Menge als Bitvektor zur Basis $n{+}1$) \quad $O(|F| \cdot |U|)$\\
-- $K = \sum_{j=0}^{3m-1} (n{+}1)^{j}$ (überall Ziffer 1) -- $K = \sum_{j=0}^{3m-1} (n{+}1)^{j}$ (überall Ziffer 1) \quad $O(|U|)$
\hin Exact Cover $\to$ jede Position genau einmal überdeckt $\to$ Summe $= K$. \hin Exact Cover $\to$ jede Position genau einmal überdeckt $\to$ Summe $= K$.
\rueck $\le n$ Summanden, Basis $n{+}1$ $\to$ kein Übertrag $\to$ jede Position genau eine 1 $\to$ gewählte Mengen überdecken exakt. \rueck $\le n$ Summanden, Basis $n{+}1$ $\to$ kein Übertrag $\to$ jede Position genau eine 1 $\to$ gewählte Mengen überdecken exakt.
\feld{ETH} $n' = |F|$. \feld{ETH} $n' = |F|$.
\pblock{SUBSETSUMCARDINALITY} \pblock{SUBSETSUMCARDINALITY}
\feld{Def} \prob{SubsetSum} mit Zusatz $|S| = n/2$ ($n$ gerade). \feld{Def} Größen $c_1, \dots, c_n$ ($n$ gerade), Ziel $K$; existiert $S$ mit Summe $K$ und $|S| = n/2$?
\feld{Bsp} $\{1, 2, 3, 8\}$, $K = 9$, $|S| = 2$: ja ($1 + 8$). \feld{Bsp} $\{1, 2, 3, 8\}$, $K = 9$, $|S| = 2$: ja ($1 + 8$).
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum} (Präsenz 11.3). \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum} (Präsenz 11.3).
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $c_i' = c_i + 1$ für $i \in [n]$\\ -- $c_i' = c_i + 1$ für $i \in [n]$ \quad $O(n)$\\
-- $n$ Einser-Items: $c_{n+1}' = \dots = c_{2n}' = 1$\\ -- $n$ Einser-Items: $c_{n+1}' = \dots = c_{2n}' = 1$ \quad $O(n)$\\
-- $K' = K + n$ -- $K' = K + n$ \quad $O(1)$
\hin Lösung $S$ plus $n - |S|$ Einser: Kardinalität $n$, Summe $K + |S| + (n - |S|) = K + n$. \hin Lösung $S$ plus $n - |S|$ Einser: Kardinalität $n$, Summe $K + |S| + (n - |S|) = K + n$.
\rueck $S = S' \cap [n]$: Einser tragen $n - |S|$ bei $\to$ $\sum_{i \in S} c_i = K$. \rueck $S = S' \cap [n]$: Einser tragen $n - |S|$ bei $\to$ $\sum_{i \in S} c_i = K$.
\feld{ETH} $n' = O(n)$. \feld{ETH} $n' = O(n)$.
\pblock{$(a_1 = 1)$-SUBSETSUM} \pblock{$(a_1 = 1)$-SUBSETSUM}
\feld{Def} \prob{SubsetSum}, wobei $a_1 = 1$ gilt. \feld{Def} \prob{SubsetSum}-Instanz mit $a_1 = 1$; Teilmenge mit Summe genau $K$?
\feld{Bsp} $\{1, 4, 6\}$, $K = 7$: ja ($1 + 6$). \feld{Bsp} $\{1, 4, 6\}$, $K = 7$: ja ($1 + 6$).
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}. \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}.
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $a_1' = 1$\\ -- $a_1' = 1$ \quad $O(1)$\\
-- $a_{i+1}' = 2 c_i$ für $i \in [n]$\\ -- $a_{i+1}' = 2 c_i$ für $i \in [n]$ \quad $O(n)$\\
-- $K' = 2K$ -- $K' = 2K$ \quad $O(1)$
\hin Lösung $S$ $\to$ verdoppelte Items summieren zu $2K$, ohne die 1. \hin Lösung $S$ $\to$ verdoppelte Items summieren zu $2K$, ohne die 1.
\rueck $2K$ gerade, alle Items außer der 1 gerade $\to$ 1 nie nutzbar (Parität); halbieren ergibt Summe $K$. \rueck $2K$ gerade, alle Items außer der 1 gerade $\to$ 1 nie nutzbar (Parität); halbieren ergibt Summe $K$.
\feld{ETH} $n' = O(n)$. \feld{ETH} $n' = O(n)$.
\pblock{SUBSETSUM MIT TEILBARKEIT (durch 3 oder 7)} \pblock{SUBSETSUM MIT TEILBARKEIT (durch 3 oder 7)}
\feld{Def} \prob{SubsetSum}, jede Größe durch 3 oder durch 7 teilbar. \feld{Def} \prob{SubsetSum}-Instanz, jede Größe durch 3 oder 7 teilbar; Teilmenge mit Summe genau $K$?
\feld{Bsp} $\{3, 7, 21\}$, $K = 10$: ja ($3 + 7$). \feld{Bsp} $\{3, 7, 21\}$, $K = 10$: ja ($3 + 7$).
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}. \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}.
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $a_i' = 21\, c_i$\\ -- $a_i' = 21\, c_i$ \quad $O(n)$\\
-- $K' = 21\, K$ -- $K' = 21\, K$ \quad $O(1)$
\hin Lösung skaliert mit: Summe $21K$. \hin Lösung skaliert mit: Summe $21K$.
\rueck Summe $21K$ durch 21 teilen $\to$ Summe $K$; $21c$ ist durch 3 und 7 teilbar. \rueck Summe $21K$ durch 21 teilen $\to$ Summe $K$; $21c$ ist durch 3 und 7 teilbar.
\feld{ETH} $n' = n$. \feld{ETH} $n' = n$.
\pblock{SUBSETSUM OHNE ZWEIERPOTENZEN} \pblock{SUBSETSUM OHNE ZWEIERPOTENZEN}
\feld{Def} \prob{SubsetSum}, keine Größe ist eine Zweierpotenz $2^t$. \feld{Def} \prob{SubsetSum}-Instanz, keine Größe eine Zweierpotenz $2^t$; Teilmenge mit Summe genau $K$?
\feld{Bsp} $\{3, 5, 6\}$, $K = 9$: ja ($3 + 6$). \feld{Bsp} $\{3, 5, 6\}$, $K = 9$: ja ($3 + 6$).
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}. \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}.
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $a_i' = 3\, c_i$\\ -- $a_i' = 3\, c_i$ \quad $O(n)$\\
-- $K' = 3K$ -- $K' = 3K$ \quad $O(1)$
\hin Lösung skaliert mit: Summe $3K$. \hin Lösung skaliert mit: Summe $3K$.
\rueck Summe $3K$ durch 3 teilen; $3c$ ist nie $2^t$, da $3 \nmid 2^t$. \rueck Summe $3K$ durch 3 teilen; $3c$ ist nie $2^t$, da $3 \nmid 2^t$.
\feld{ETH} $n' = n$. \feld{ETH} $n' = n$.
\pblock{PARTITION} \pblock{PARTITION}
\feld{Def} Zahlen in zwei Hälften gleicher Summe teilen? \feld{Def} Zahlen $c_1, \dots, c_n$; existiert $S$ mit $\sum_{i \in S} c_i = \frac12 \sum_i c_i$?
\feld{Bsp} $\{1, 2, 3, 4\}$: $\{1,4\} | \{2,3\}$ -- ja. \feld{Bsp} $\{1, 2, 3, 4\}$: $\{1,4\} | \{2,3\}$ -- ja.
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum} (Skript). \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum} (Skript).
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $N = \sum_{j=1}^n c_j + 1$\\ -- $N = \sum_{j=1}^n c_j + 1$ \quad $O(n)$\\
-- $c_{n+1} = N - K$, $c_{n+2} = K + 1$\\ -- $c_{n+1} = N - K$, $c_{n+2} = K + 1$ \quad $O(1)$\\
-- Gesamtsumme $= 2N$, Hälfte $= N$ -- Gesamtsumme $= 2N$, Hälfte $= N$
\hin Lösung $S$: $S \cup \{c_{n+1}\}$ summiert zu $K + (N - K) = N$. \hin Lösung $S$: $S \cup \{c_{n+1}\}$ summiert zu $K + (N - K) = N$.
\rueck $c_{n+1}, c_{n+2}$ nie zusammen (Summe $N + 1 > N$); obdA $c_{n+1} \in S$ $\to$ Rest von $S$ summiert zu $N - (N - K) = K$. \rueck $c_{n+1}, c_{n+2}$ nie zusammen (Summe $N + 1 > N$); obdA $c_{n+1} \in S$ $\to$ Rest von $S$ summiert zu $N - (N - K) = K$.
\feld{ETH} $n' = O(n)$. \feld{ETH} $n' = O(n)$.
\pblock{$P2\,\|\,C_{\max}$ (2 Maschinen)} \pblock{$P2\,\|\,C_{\max}$ (2 Maschinen)}
\feld{Def} Jobs auf 2 Maschinen, Makespan $\le T$? \feld{Def} Jobs $p_1, \dots, p_n$, Schranke $T$; Schedule auf 2 Maschinen mit Makespan $\le T$?
\feld{Bsp} Jobs $3,3,2,2,2$, $T = 6$: ja ($\{3,3\}$ und $\{2,2,2\}$). \feld{Bsp} Jobs $3,3,2,2,2$, $T = 6$: ja ($\{3,3\}$ und $\{2,2,2\}$).
\feld{Reduktion} von \prob{Partition}. \feld{Reduktion} von \prob{Partition}.
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- Jobs = Zahlen\\ -- Jobs = Zahlen \quad $O(n)$\\
-- $m = 2$\\ -- $m = 2$ \quad $O(1)$\\
-- $T = \frac12 \sum p_j$ -- $T = \frac12 \sum p_j$ \quad $O(n)$
\hin Partition $=$ perfekt balancierter Schedule. \hin Partition $=$ perfekt balancierter Schedule.
\rueck Makespan $\frac12 \sum$ erzwingt exakte Balance $=$ Partition. \rueck Makespan $\frac12 \sum$ erzwingt exakte Balance $=$ Partition.
\feld{ETH} $n' = n$, $T = O(\textstyle\sum a_i)$. \feld{ETH} $n' = n$, $T = O(\textstyle\sum a_i)$.
\pblock{KNAPSACK (Entscheidung)} \pblock{KNAPSACK (Entscheidung)}
\feld{Def} Gewichte $w_i$, Profite $p_i$; Auswahl mit $\sum w_i \le K$ und $\sum p_i \ge P$? \feld{Def} Gewichte $w_i$, Profite $p_i$, Schranken $K, P$; Auswahl mit $\sum w_i \le K$ und $\sum p_i \ge P$?
\feld{Bsp} Items $(w,p)$: $(2,3), (3,4)$; $K = 3$, $P = 4$: ja (zweites Item). \feld{Bsp} Items $(w,p)$: $(2,3), (3,4)$; $K = 3$, $P = 4$: ja (zweites Item).
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}. \feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}.
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $w_i = p_i = a_i$\\ -- $w_i = p_i = a_i$ \quad $O(n)$\\
-- $K = P = T$ -- $K = P = T$ \quad $O(1)$
\hin Summe $= T$ $\to$ Gewicht $\le K$ und Profit $\ge P$. \hin Summe $= T$ $\to$ Gewicht $\le K$ und Profit $\ge P$.
\rueck Gewicht $\le T$ und Profit $\ge T$ zugleich $\to$ Summe exakt $T$. \rueck Gewicht $\le T$ und Profit $\ge T$ zugleich $\to$ Summe exakt $T$.
\feld{ETH} $n' = n$, $K = P = T$. \feld{ETH} $n' = n$, $K = P = T$.
\pblock{HITTINGSET} \pblock{HITTINGSET}
\feld{Def} Universum $U$, Mengen $F_1, \dots, F_r$, Zahl $k$; $H$, $|H| \le k$, trifft jede $F_i$? \feld{Def} Universum $U$, Mengen $F_1, \dots, F_r$, Zahl $k$; existiert $H$, $|H| \le k$, das jede $F_i$ trifft?
\feld{Bsp} $U = \{1..5\}$, $F = \{1,2\}, \{2,3\}, \{4,5\}$: $H = \{2, 4\}$, $k{=}2$ ja. \feld{Bsp} $U = \{1..5\}$, $F = \{1,2\}, \{2,3\}, \{4,5\}$: $H = \{2, 4\}$, $k{=}2$ ja.
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (HA 12.2 / Probeklausur). \feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (HA 12.2 / Probeklausur).
\feld{ETH} $|U| = O(n)$, $r = O(m)$, $k = n$. \feld{ETH} $|U| = O(n)$, $r = O(m)$, $k = n$.
@@ -276,12 +282,12 @@ Vorüberlegung: obdA $f(v_i) = i$, $f(z) = n{+}1$; dann $f(x_j), f(\bar x_j) \in
\feld{ETH} $n' = O(n)$, $m' = m$. \feld{ETH} $n' = O(n)$, $m' = m$.
\pblock{HALT$_{\mathrm{TM}}$ (nur NP-schwer!)} \pblock{HALT$_{\mathrm{TM}}$ (nur NP-schwer!)}
\feld{Def} Hält DTM $M$ auf Wort $w$? \feld{Def} DTM $M$, Wort $w$; hält $M$ auf $w$?
\feld{Bsp} $M$ = Endlosschleife auf jeder Eingabe: nein für jedes $w$. \feld{Bsp} $M$ = Endlosschleife auf jeder Eingabe: nein für jedes $w$.
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (HA 11.2). \feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (HA 11.2).
\feld{Konstruktion}\\ \feld{Konstruktion}\\
-- $M_\varphi$: probiere alle $2^n$ Belegungen; falls eine erfüllt, halte; sonst Endlosschleife\\ -- $M_\varphi$: probiere alle $2^n$ Belegungen; falls eine erfüllt, halte; sonst Endlosschleife \quad $O(|\varphi|)$\\
-- $w = \langle \varphi \rangle$ -- $w = \langle \varphi \rangle$ \quad $O(|\varphi|)$
\hin Erfüllbar $\to$ $M_\varphi$ findet Belegung und hält. \hin Erfüllbar $\to$ $M_\varphi$ findet Belegung und hält.
\rueck $M_\varphi$ hält nur im Erfolgsfall $\to$ erfüllbar. \rueck $M_\varphi$ hält nur im Erfolgsfall $\to$ erfüllbar.