update
This commit is contained in:
team3
@@ -2,4 +2,4 @@
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\providecommand\babel@aux[2]{}
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\@nameuse{bbl@beforestart}
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\babel@aux{ngerman}{}
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\gdef \@abspage@last{5}
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\gdef \@abspage@last{7}
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@@ -1,4 +1,4 @@
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This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=pdflatex 2026.5.23) 21 JUL 2026 08:48
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This is pdfTeX, Version 3.141592653-2.6-1.40.25 (TeX Live 2023/Debian) (preloaded format=pdflatex 2026.5.23) 21 JUL 2026 09:11
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entering extended mode
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restricted \write18 enabled.
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%&-line parsing enabled.
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@@ -257,8 +257,8 @@ LaTeX Font Info: Trying to load font information for U+msb on input line 30.
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File: umsb.fd 2013/01/14 v3.01 AMS symbols B
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) [1
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{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2] [3] [4] [5] (./cheatsh
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eet.aux)
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{/var/lib/texmf/fonts/map/pdftex/updmap/pdftex.map}] [2] [3] [4] [5] [6] [7] (.
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/cheatsheet.aux)
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***********
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LaTeX2e <2023-11-01> patch level 1
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L3 programming layer <2024-01-22>
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@@ -267,7 +267,7 @@ L3 programming layer <2024-01-22>
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Here is how much of TeX's memory you used:
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4645 strings out of 476182
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69369 string characters out of 5795595
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1939975 words of memory out of 5000000
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1940975 words of memory out of 5000000
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26619 multiletter control sequences out of 15000+600000
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572268 words of font info for 73 fonts, out of 8000000 for 9000
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14 hyphenation exceptions out of 8191
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@@ -292,10 +292,10 @@ st/fonts/type1/public/amsfonts/cm/cmr7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts
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ublic/amsfonts/cm/cmsy10.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/
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amsfonts/cm/cmsy7.pfb></usr/share/texlive/texmf-dist/fonts/type1/public/amsfont
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s/symbols/msbm10.pfb>
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Output written on cheatsheet.pdf (5 pages, 201458 bytes).
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Output written on cheatsheet.pdf (7 pages, 219818 bytes).
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PDF statistics:
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332 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
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80 compressed objects within 1 object stream
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363 PDF objects out of 1000 (max. 8388607)
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86 compressed objects within 1 object stream
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0 named destinations out of 1000 (max. 500000)
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1 words of extra memory for PDF output out of 10000 (max. 10000000)
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Binary file not shown.
@@ -285,4 +285,75 @@ Vorüberlegung: obdA $f(v_i) = i$, $f(z) = n{+}1$; dann $f(x_j), f(\bar x_j) \in
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\hin Erfüllbar $\to$ $M_\varphi$ findet Belegung und hält.
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\rueck $M_\varphi$ hält nur im Erfolgsfall $\to$ erfüllbar.
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\pblock{GÜTE: $\Delta$TSP1}
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\feld{Algorithmus} MST $T$ $\to$ Kanten verdoppeln $\to$ Eulerkreis $\to$ Abkürzen.
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\feld{Güte} $2$.
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\feld{Beweis}\\
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-- Kante aus optimaler Tour entfernen $\to$ Spannbaum $\to$ $w(T) \le \mathrm{OPT}$\\
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-- Verdoppeln: Eulerkreis der Länge $2\,w(T) \le 2\,\mathrm{OPT}$\\
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-- Abkürzen verlängert nicht ($\Delta$-Ungleichung)
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\pblock{GÜTE: CHRISTOFIDES ($\Delta$TSP2)}
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\feld{Algorithmus} MST $T$ $\to$ $X$ = Knoten ungeraden Grades $\to$ min.\ perfektes Matching $M$ auf $X$ $\to$ Eulerkreis in $T + M$ $\to$ Abkürzen.
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\feld{Güte} $\frac32$.
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\feld{Beweis}\\
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-- $w(T) \le \mathrm{OPT}$ (Tour minus Kante = Spannbaum)\\
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-- $|X|$ gerade; optimale Tour auf $X$ abkürzen $\to$ Kreis $C$ mit $d(C) \le \mathrm{OPT}$\\
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-- $C$ zerfällt in zwei perfekte Matchings $M_1, M_2$ $\to$ $w(M) \le \min \le \frac12 \mathrm{OPT}$\\
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-- Eulerkreis in $T + M$: $w(T) + w(M) \le \frac32 \mathrm{OPT}$; Abkürzen verlängert nicht
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\feld{Scharf} Leitergraph (Präsenz 12.2): Zick-Zack-MST ($n{-}1$) + Matchingkante $\{1, n\}$ der Länge $\frac n2$ $\to$ Rate $\frac{n - 1 + n/2}{n} \to \frac32$.
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\pblock{GÜTE: GREEDY-KNAPSACK (Widerlegung)}
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\feld{Algorithmus} Absteigend nach Dichte $p_i/w_i$; packe jedes noch passende Item.
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\feld{Güte} Unbeschränkt -- keine konstante Güte.
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\feld{Beweis}\\
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-- Instanz $(w, p) = (1, 1), (B, B{-}1)$, Kapazität $B$\\
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-- Dichten: $1 > \frac{B-1}{B}$ $\to$ Greedy packt Item 1; Item 2 passt nicht mehr\\
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-- $GA = 1$, $\mathrm{OPT} = B - 1$ $\to$ Rate $B - 1 \to \infty$
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\pblock{GÜTE: MODIFIEDGREEDY (Knapsack)}
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\feld{Algorithmus} $\mathrm{MGA} = \max\{\text{Greedy-Lösung},\ \text{profitreichstes Einzelitem}\}$.
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\feld{Güte} $2$, d.h.\ $\mathrm{OPT} \le 2\,\mathrm{MGA}$.
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\feld{Beweis}\\
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-- $k{+}1$ = erstes Item, das Greedy nicht mehr packt\\
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-- fraktionale Relaxierung: $\mathrm{OPT} \le \mathrm{OPT}_f \le p_1 + \dots + p_k + p_{k+1}$\\
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-- $p_1 + \dots + p_k \le GA$ und $p_{k+1} \le p_{\max}$\\
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-- $\mathrm{OPT} \le GA + p_{\max} \le 2 \max\{GA, p_{\max}\} = 2\,\mathrm{MGA}$
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\pblock{GÜTE: LISTSCHEDULING ($P\,\|\,C_{\max}$)}
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\feld{Algorithmus} Jobs der Reihe nach auf die aktuell leerste Maschine.
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\feld{Güte} $2 - \frac1m$.
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\feld{Beweis}\\
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-- $J_k$ = letzter Job auf der vollsten Maschine (Last $L$); bei Platzierung war sie die leerste\\
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-- alle Maschinen hatten Last $\ge L - p_k$ $\to$ $\sum_i p_i \ge m(L - p_k) + p_k$\\
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-- $\mathrm{OPT} \ge \frac1m \sum_i p_i \ge L - (1 - \frac1m) p_k$\\
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-- $p_k \le \mathrm{OPT}$ einsetzen $\to$ $L \le (2 - \frac1m)\,\mathrm{OPT}$
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\feld{Scharf} (Skript!) $m(m{-}1)$ Einser + $1$ Job der Größe $m$: $LS = 2m - 1$, $\mathrm{OPT} = m$.
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\pblock{GÜTE: LPT}
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\feld{Algorithmus} Jobs absteigend sortieren, dann ListScheduling.
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\feld{Güte} $\frac43 - \frac1{3m}$.
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\feld{Beweis}\\
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-- wie LS: $\mathrm{LPT} \le \mathrm{OPT} + (1 - \frac1m) p_n$ ($p_n$ = Job, der den Makespan setzt)\\
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-- Fall $p_n \le \frac13 \mathrm{OPT}$: einsetzen $\to$ $(\frac43 - \frac1{3m})\,\mathrm{OPT}$\\
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-- Fall $p_n > \frac13 \mathrm{OPT}$: alle Jobs $> \frac13 \mathrm{OPT}$ $\to$ optimal höchstens 2 Jobs pro Maschine $\to$ LPT ist optimal
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\pblock{GÜTE: 2ApproxVC}
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\feld{Algorithmus} Kanten durchgehen; sind beide Endpunkte neu, nimm beide in $C$ auf.
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\feld{Güte} $2$, d.h.\ $|C| \le 2\,|C^*|$.
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\feld{Beweis}\\
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-- $A$ = aufgenommene Kanten $\to$ $|C| = 2|A|$\\
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-- $A$ ist Matching: gemeinsamer Endpunkt wäre schon in $C$ gewesen\\
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-- $C^*$ braucht pro Kante aus $A$ einen \emph{eigenen} Knoten $\to$ $|C^*| \ge |A|$\\
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-- $|C| = 2|A| \le 2\,|C^*|$
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\pblock{GÜTE: MAX-3-SAT}
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\feld{Algorithmus} Werte $\beta_0$ (alles falsch) und $\beta_1$ (alles wahr) aus; gib die bessere zurück.
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\feld{Güte} $2$, d.h.\ $v(A(\varphi)) \ge \frac12 v(\mathrm{OPT})$.
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\feld{Beweis}\\
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-- jede Klausel hat $\ge 1$ Literal; negatives Literal $\to$ $\beta_0$ erfüllt, positives $\to$ $\beta_1$\\
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-- also $v(\beta_0) + v(\beta_1) \ge m$\\
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-- $\max \ge$ Durchschnitt $\ge \frac m2 \ge \frac12 v(\mathrm{OPT})$
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\feld{Scharf} $(x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (\bar x_1 \vee \bar x_2 \vee \bar x_3)$: $A = 1$, $\mathrm{OPT} = 2$ (via $x_1 = 1, x_2 = 0$).
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\end{document}
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