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lernmaterial/cheatsheet.tex

@@ -285,4 +285,75 @@ Vorüberlegung: obdA $f(v_i) = i$, $f(z) = n{+}1$; dann $f(x_j), f(\bar x_j) \in
 \hin Erfüllbar $\to$ $M_\varphi$ findet Belegung und hält.
 \rueck $M_\varphi$ hält nur im Erfolgsfall $\to$ erfüllbar.
 
+\pblock{GÜTE: $\Delta$TSP1}
+\feld{Algorithmus} MST $T$ $\to$ Kanten verdoppeln $\to$ Eulerkreis $\to$ Abkürzen.
+\feld{Güte} $2$.
+\feld{Beweis}\\
+-- Kante aus optimaler Tour entfernen $\to$ Spannbaum $\to$ $w(T) \le \mathrm{OPT}$\\
+-- Verdoppeln: Eulerkreis der Länge $2\,w(T) \le 2\,\mathrm{OPT}$\\
+-- Abkürzen verlängert nicht ($\Delta$-Ungleichung)
+
+\pblock{GÜTE: CHRISTOFIDES ($\Delta$TSP2)}
+\feld{Algorithmus} MST $T$ $\to$ $X$ = Knoten ungeraden Grades $\to$ min.\ perfektes Matching $M$ auf $X$ $\to$ Eulerkreis in $T + M$ $\to$ Abkürzen.
+\feld{Güte} $\frac32$.
+\feld{Beweis}\\
+-- $w(T) \le \mathrm{OPT}$ (Tour minus Kante = Spannbaum)\\
+-- $|X|$ gerade; optimale Tour auf $X$ abkürzen $\to$ Kreis $C$ mit $d(C) \le \mathrm{OPT}$\\
+-- $C$ zerfällt in zwei perfekte Matchings $M_1, M_2$ $\to$ $w(M) \le \min \le \frac12 \mathrm{OPT}$\\
+-- Eulerkreis in $T + M$: $w(T) + w(M) \le \frac32 \mathrm{OPT}$; Abkürzen verlängert nicht
+\feld{Scharf} Leitergraph (Präsenz 12.2): Zick-Zack-MST ($n{-}1$) + Matchingkante $\{1, n\}$ der Länge $\frac n2$ $\to$ Rate $\frac{n - 1 + n/2}{n} \to \frac32$.
+
+\pblock{GÜTE: GREEDY-KNAPSACK (Widerlegung)}
+\feld{Algorithmus} Absteigend nach Dichte $p_i/w_i$; packe jedes noch passende Item.
+\feld{Güte} Unbeschränkt -- keine konstante Güte.
+\feld{Beweis}\\
+-- Instanz $(w, p) = (1, 1), (B, B{-}1)$, Kapazität $B$\\
+-- Dichten: $1 > \frac{B-1}{B}$ $\to$ Greedy packt Item 1; Item 2 passt nicht mehr\\
+-- $GA = 1$, $\mathrm{OPT} = B - 1$ $\to$ Rate $B - 1 \to \infty$
+
+\pblock{GÜTE: MODIFIEDGREEDY (Knapsack)}
+\feld{Algorithmus} $\mathrm{MGA} = \max\{\text{Greedy-Lösung},\ \text{profitreichstes Einzelitem}\}$.
+\feld{Güte} $2$, d.h.\ $\mathrm{OPT} \le 2\,\mathrm{MGA}$.
+\feld{Beweis}\\
+-- $k{+}1$ = erstes Item, das Greedy nicht mehr packt\\
+-- fraktionale Relaxierung: $\mathrm{OPT} \le \mathrm{OPT}_f \le p_1 + \dots + p_k + p_{k+1}$\\
+-- $p_1 + \dots + p_k \le GA$ und $p_{k+1} \le p_{\max}$\\
+-- $\mathrm{OPT} \le GA + p_{\max} \le 2 \max\{GA, p_{\max}\} = 2\,\mathrm{MGA}$
+
+\pblock{GÜTE: LISTSCHEDULING ($P\,\|\,C_{\max}$)}
+\feld{Algorithmus} Jobs der Reihe nach auf die aktuell leerste Maschine.
+\feld{Güte} $2 - \frac1m$.
+\feld{Beweis}\\
+-- $J_k$ = letzter Job auf der vollsten Maschine (Last $L$); bei Platzierung war sie die leerste\\
+-- alle Maschinen hatten Last $\ge L - p_k$ $\to$ $\sum_i p_i \ge m(L - p_k) + p_k$\\
+-- $\mathrm{OPT} \ge \frac1m \sum_i p_i \ge L - (1 - \frac1m) p_k$\\
+-- $p_k \le \mathrm{OPT}$ einsetzen $\to$ $L \le (2 - \frac1m)\,\mathrm{OPT}$
+\feld{Scharf} (Skript!) $m(m{-}1)$ Einser + $1$ Job der Größe $m$: $LS = 2m - 1$, $\mathrm{OPT} = m$.
+
+\pblock{GÜTE: LPT}
+\feld{Algorithmus} Jobs absteigend sortieren, dann ListScheduling.
+\feld{Güte} $\frac43 - \frac1{3m}$.
+\feld{Beweis}\\
+-- wie LS: $\mathrm{LPT} \le \mathrm{OPT} + (1 - \frac1m) p_n$ ($p_n$ = Job, der den Makespan setzt)\\
+-- Fall $p_n \le \frac13 \mathrm{OPT}$: einsetzen $\to$ $(\frac43 - \frac1{3m})\,\mathrm{OPT}$\\
+-- Fall $p_n > \frac13 \mathrm{OPT}$: alle Jobs $> \frac13 \mathrm{OPT}$ $\to$ optimal höchstens 2 Jobs pro Maschine $\to$ LPT ist optimal
+
+\pblock{GÜTE: 2ApproxVC}
+\feld{Algorithmus} Kanten durchgehen; sind beide Endpunkte neu, nimm beide in $C$ auf.
+\feld{Güte} $2$, d.h.\ $|C| \le 2\,|C^*|$.
+\feld{Beweis}\\
+-- $A$ = aufgenommene Kanten $\to$ $|C| = 2|A|$\\
+-- $A$ ist Matching: gemeinsamer Endpunkt wäre schon in $C$ gewesen\\
+-- $C^*$ braucht pro Kante aus $A$ einen \emph{eigenen} Knoten $\to$ $|C^*| \ge |A|$\\
+-- $|C| = 2|A| \le 2\,|C^*|$
+
+\pblock{GÜTE: MAX-3-SAT}
+\feld{Algorithmus} Werte $\beta_0$ (alles falsch) und $\beta_1$ (alles wahr) aus; gib die bessere zurück.
+\feld{Güte} $2$, d.h.\ $v(A(\varphi)) \ge \frac12 v(\mathrm{OPT})$.
+\feld{Beweis}\\
+-- jede Klausel hat $\ge 1$ Literal; negatives Literal $\to$ $\beta_0$ erfüllt, positives $\to$ $\beta_1$\\
+-- also $v(\beta_0) + v(\beta_1) \ge m$\\
+-- $\max \ge$ Durchschnitt $\ge \frac m2 \ge \frac12 v(\mathrm{OPT})$
+\feld{Scharf} $(x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (\bar x_1 \vee \bar x_2 \vee \bar x_3)$: $A = 1$, $\mathrm{OPT} = 2$ (via $x_1 = 1, x_2 = 0$).
+
 \end{document}