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\newcommand{\prob}[1]{\textsc{#1}}
\newcommand{\redp}{\le_p}

% Problemblock: Name
\newcommand{\pblock}[1]{\par\medskip\noindent\colorbox{black!8}{\parbox{\dimexpr\linewidth-2\fboxsep}{\textbf{\large #1}}}\par\nopagebreak\smallskip}
\newcommand{\feld}[1]{\par\nopagebreak\textbf{#1:}\ }
\newcommand{\hin}{\feld{$\Rightarrow$}}
\newcommand{\rueck}{\feld{$\Leftarrow$}}
\newcommand{\skizze}{\textcolor{red!70!black}{\textbf{[Skizze -- Detail selbst prüfen]}}\ }

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE\bfseries AAK Cheatsheet -- Problem-Arsenal}\\[2pt]
{\small Referenz: Definition · Beispiel · Reduktion · Konstruktion · ETH · Beweisidee je Richtung}
\end{center}

\textbf{Reduktionsbaum (Kurs):}
\[
\begin{array}{l}
\prob{Sat} \redp \text{3-\prob{Sat}} \redp k\text{-}\prob{Clique} \redp \prob{IndependentSet},\ \prob{VertexCover} \redp \prob{FVS},\ \Delta\prob{Cover}\\[2pt]
\text{3-\prob{Sat}} \redp \prob{HittingSet} \redp \prob{SetCover}; \quad \text{3-\prob{Sat}} \redp \prob{DominatingSet},\ k\text{-}\prob{Color} \redp \prob{CoverClique}\\[2pt]
\prob{Sat} \redp \text{3-DM} \redp \text{3-\prob{ExactCover}} \redp \prob{SubsetSum} \redp \prob{Partition} \redp P2\,\|\,C_{\max}; \quad \prob{SubsetSum} \redp \prob{Knapsack}\\[2pt]
\prob{VertexCover} \redp \prob{HamiltonianCycle} \leftrightarrow \prob{HamiltonianPath}; \quad \prob{HC} \redp \prob{TSP}\\[2pt]
\text{3-\prob{Sat}} \redp \text{NAE-4-\prob{Sat}} \redp \prob{SetSplitting}; \quad k\text{-}\prob{Clique} \redp \prob{GridTiling},\ 2|\mathrm{prec}|C_{\max}
\end{array}
\]

\textbf{Quellen-Wahl bei fremdem Problem:} Zahlen/Summen $\to$ \prob{SubsetSum}/\prob{Partition} · Knoten-Auswahl $\to$ \prob{Clique}/\prob{VC}/\prob{IS} · Touren/Reihenfolgen $\to$ \prob{HC}/\prob{HP} · Färbung/Partition in Klassen $\to$ $k$-\prob{Color} · Mengensysteme $\to$ \prob{HittingSet}/\prob{3-ExactCover} · Scheduling $\to$ \prob{Partition}/$P2\|C_{\max}$ · Zusatzeigenschaft auf bekanntem Problem $\to$ vom Grundproblem reduzieren, Eigenschaft per Gadget erzwingen.

\hrulefill

\pblock{SAT}
\feld{Def} KNF-Formel $\varphi$; existiert erfüllende Belegung?
\feld{Bsp} $(x \vee y) \wedge (\bar x \vee y \vee z) \wedge (\bar y)$ -- ja: $x{=}0, y{=}0, z{=}1$.
\feld{Reduktion} Basis (Cook--Levin: jede NP-Sprache $\redp$ \prob{Sat}).
\feld{ETH} über 3-\prob{Sat}-Schranken.
\feld{Rolle} Startpunkt; Klauseln beliebig lang -- Vorsicht: SS24-Klausur verlangte $\prob{Sat} \redp k$-\prob{Clique}, nicht 3-\prob{Sat}!

\pblock{3-SAT}
\feld{Def} KNF, jede Klausel $\le 3$ Literale; erfüllbar?
\feld{Bsp} $(x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (\bar x_1 \vee \bar x_2 \vee \bar x_3)$ -- ja: $x_1{=}1, x_2{=}0$.
\feld{Reduktion} von \prob{Sat}.
\feld{Konstruktion} Lange Klausel $(\ell_1 \vee \dots \vee \ell_k)$ mit frischen $y_i$ zerhacken: $(\ell_1 \vee \ell_2 \vee y_1)(\bar y_1 \vee \ell_3 \vee y_2)\dots$
\hin Erfülltes $\ell_j$ wählen, $y$-Kette davor wahr, danach falsch setzen.
\rueck Wären alle $\ell_j$ falsch, erzwingt die $y$-Kette einen Widerspruch (Dominoeffekt).
\feld{ETH} nicht in $2^{o(n)}$; per \textbf{Sparsification-Lemma} auch nicht in $2^{o(m)}$. Merke: $n \le 3m$.

\pblock{$k$-CLIQUE}
\feld{Def} Graph $G$, Zahl $k$; existiert paarweise verbundene Knotenmenge $|C| \ge k$?
\feld{Bsp} Dreieck $\{1,2,3\}$ plus Kante $\{3,4\}$: $k{=}3$ ja, $k{=}4$ nein.
\feld{Reduktion} von \prob{Sat} (Vorlesung).
\feld{Konstruktion} Knoten = Paare (Klausel $C_j$, Literal $\ell \in C_j$); Kante zwischen Paaren verschiedener Klauseln, außer $\ell = \bar\ell'$; $k = m$.
\hin Erfüllende Belegung: pro Klausel ein wahres Literal wählen -- paarweise kompatibel $\to$ $m$-Clique.
\rueck $m$-Clique hat je Klausel genau einen Knoten; Literale widerspruchsfrei $\to$ Belegung erfüllt alle Klauseln.
\feld{ETH} $|V| = O(m)$, $|E| = O(m^2)$, $k = m$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|V|)}$, $2^{o(\sqrt{|E|})}$, $2^{o(k)}$.

\pblock{$k$-INDEPENDENTSET}
\feld{Def} Existieren $k$ paarweise \emph{nicht} verbundene Knoten?
\feld{Bsp} Pfad $1{-}2{-}3{-}4$: $\{1,3\}$ oder $\{1,4\}$, $k{=}2$ ja.
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique}.
\feld{Konstruktion} Komplementgraph $\bar G$, gleiches $k$.
\hin Clique in $G$ = keine Kanten in $\bar G$ = IS.
\rueck IS in $\bar G$ = alle Paare Kanten in $G$ = Clique.
\feld{ETH} $|V|$ gleich, $|E| \le |V|^2$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|V|)}$, $2^{o(\sqrt{|E|})}$.

\pblock{VERTEXCOVER}
\feld{Def} Existiert $S$, $|S| \le k$, die jede Kante mit einem Endpunkt trifft?
\feld{Bsp} Stern (Zentrum $z$, 4 Blätter): $S = \{z\}$, $k{=}1$ ja.
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique} (Präsenz 10.2).
\feld{Konstruktion} $\bar G$ und $k' = n - k$.
\hin Clique $C$ in $G$ $\to$ $V \setminus C$ deckt $\bar G$: in $\bar G$ gibt es keine Kante innerhalb $C$.
\rueck VC $V'$ in $\bar G$ $\to$ $V \setminus V'$ ist IS in $\bar G$ = Clique in $G$, Größe $\ge n - (n-k) = k$.
\feld{ETH} $|V'| = |V|$, $|E'| \le |V|^2$, $k' \le |V|$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|V|)}$, $2^{o(\sqrt{|E|})}$, $2^{o(k)}$.

\pblock{FEEDBACKVERTEXSET (gerichtet)}
\feld{Def} $X \subseteq V$, $|X| \le k$, sodass $G \setminus X$ kreisfrei.
\feld{Bsp} Kreis $1 \to 2 \to 3 \to 1$: $X = \{1\}$, $k{=}1$ ja.
\feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (HA 10.1).
\feld{Konstruktion} Jede Kante $\{u,v\}$ durch beide Richtungen $(u,v), (v,u)$ ersetzen; $k$ übernehmen.
\hin VC entfernt $\to$ keine Kanten mehr $\to$ kreisfrei.
\rueck Wäre Kante $\{u,v\}$ ungedeckt, bildet $(u,v,u)$ einen 2-Kreis -- Widerspruch.

\pblock{$\Delta$COVER (Dreiecksüberdeckung)}
\feld{Def} $C_\Delta$, $|C_\Delta| \le k$: jedes Dreieck enthält einen Knoten aus $C_\Delta$.
\feld{Bsp} Zwei Dreiecke mit gemeinsamer Kante $\{u,v\}$: $C_\Delta = \{u\}$, $k{=}1$ ja.
\feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (HA 11.1).
\feld{Konstruktion} Pro Kante $e = \{u,v\}$ neuer Knoten $v_e$ mit Kanten zu $u, v$ -- jede Kante wird Dreieck; $k$ übernehmen.
\hin VC trifft jede Kante, also jedes Alt-Dreieck \emph{und} jedes neue Dreieck $\{u, v, v_e\}$. \textbf{Achtung Korrektur H11:} auch Dreiecke, die schon in $G$ lagen, explizit abdecken!
\rueck ObdA $C_\Delta \subseteq V$ ($v_e$ durch $e_1$ tauschen, deckt weiter); dann trifft $C_\Delta$ jedes $\{u,v,v_e\}$, also jede Kante.
\feld{ETH} $|V'| = |V| + |E| \le 2|V|^2$, $|E'| = 3|E|$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(\sqrt{|V'|})}$, $2^{o(\sqrt{|E'|})}$ (aus VC-Schranken).

\pblock{HAMILTONIANCYCLE (HC)}
\feld{Def} Kreis, der jeden Knoten genau einmal besucht?
\feld{Bsp} $C_5$ (Fünfeck): ja. $K_{1,3}$ (Stern): nein.
\feld{Reduktion} von \prob{VertexCover} (Vorlesung) -- \textbf{Konstruktion nie selbst gefordert. Nur als Fakt zitieren.}
\feld{Als Quelle} für \prob{HP} $\leftrightarrow$ \prob{HC}, \prob{TSP}, Hitchhiker's, \prob{LongestPath} ($k = n{-}1$).

\pblock{HAMILTONIANPATH (HP) $\leftrightarrow$ HC}
\feld{Def} Pfad, der jeden Knoten genau einmal besucht?
\feld{HP von HC} Wähle $v$; füge Kopie $v^*$ (gleiche Nachbarn) plus Grad-1-Knoten $s$ an $v$, $t$ an $v^*$ an.
\hin HC bei $v$ aufschneiden $\to$ Pfad $s, v, \dots, v^*, t$.
\rueck Pfad muss $s, t$ als Enden haben; $v \dots v^*$ zusammenkleben ergibt HC.
\feld{HC von HP} Neuen Universalknoten $u$ (mit allen verbunden) hinzufügen.
\hin Pfad $+$ $u$ am Anfang/Ende schließt Kreis.
\rueck HC ohne $u$ ist Pfad über alle Altknoten.

\pblock{TSP (Entscheidung) + Inapproximierbarkeit}
\feld{Def} Vollständiger Graph mit Distanzen, Budget $T$; Rundreise $\le T$?
\feld{Bsp} 4 Städte im Quadrat, Seitenlänge 1: OPT $= 4$.
\feld{Reduktion} von \prob{HC}.
\feld{Konstruktion} $d(u,v) = 1$ falls $\{u,v\} \in E$, sonst $2$; $T = n$. (Erfüllt sogar $\Delta$-Ungleichung!)
\hin HC $\to$ Tour aus lauter 1er-Kanten, Länge $n$.
\rueck Tour $\le n$ kann keine 2er-Kante nutzen $\to$ alle Kanten in $E$ $\to$ HC.
\feld{Inapprox (SS23!)} Nicht-Kanten stattdessen $= \alpha n + 1$. Ein $\alpha$-Approx-Algorithmus gäbe Tour $\le \alpha n$ gdw.\ HC existiert $\to$ entscheidet \prob{HC} in Polyzeit $\to$ $P = NP$. Für kein $\alpha$ Güte möglich, außer $P = NP$.

\pblock{$k$-COLOR}
\feld{Def} Färbung $f: V \to [k]$ mit $f(u) \ne f(v)$ für Kanten?
\feld{Bsp} $C_5$: 3 Farben nötig; $C_4$: 2 reichen.
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} -- \textbf{in Klausuren stets gegeben, nie selbst konstruieren.} Nur Parameter zählen!
\feld{ETH} nicht in $2^{o(|V|)}$ (stand SS25 als Hinweis dabei); Parameter der SS24-Reduktion: $|V| = O(n + m)$, $|E| = O(n^2 + nm)$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(\sqrt{|E|})}$.
\feld{Als Quelle} NP-vollständig zitieren für: \prob{Precoloring}, \prob{CoverClique}, 3-\prob{Color}-Varianten.

\pblock{$k$-COLOR-PRECOLORING}
\feld{Def} Zusätzlich: vorgegebene Knoten $v_1, \dots, v_k$ mit $f(v_i) = i$.
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Color}.
\feld{Konstruktion} Füge frische Clique $v_1, \dots, v_k$ hinzu (untereinander verbunden, sonst isoliert); precolore $f(v_i) = i$.
\hin $k$-Färbung von $G$ bleibt gültig; neue Clique bekommt Farben $1..k$ per Definition.
\rueck Einschränkung der Precoloring-Färbung auf $G$ ist $k$-Färbung.
\feld{Merke} Verifizierer braucht $v_1, \dots, v_k$ als Teil der \emph{Eingabe} (Klausur-Korrektur!) und muss ALLE Knoten prüfen, nicht nur $C$.

\pblock{COVERCLIQUE}
\feld{Def} $k$ paarweise disjunkte Cliquen, die $V$ überdecken?
\feld{Bsp} $C_4$ (Viereck): 2 Cliquen (gegenüberliegende Kanten) -- ja für $k{=}2$.
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Color} (SS25-Klausur).
\feld{Konstruktion} Komplementgraph $\bar G$, gleiches $k$.
\hin Farbklassen sind IS in $G$ = Cliquen in $\bar G$; disjunkt, überdecken $V$.
\rueck Cliquen in $\bar G$ = IS in $G$ $\to$ als Farbklassen nutzen.
\feld{ETH} $|V|$ gleich $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|V|)}$; $|\bar E| \le |V|^2$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(\sqrt{|E|})}$.

\pblock{3-DIMENSIONALMATCHING (3-DM)}
\feld{Def} Disjunkte Mengen $W, X, Y$ ($|W|{=}|X|{=}|Y|{=}q$), Tripel $T \subseteq W {\times} X {\times} Y$; $q$ disjunkte Tripel, die alles überdecken?
\feld{Bsp} Ehe-Analogie mit 3 Geschlechtern: perfekte Dreier-Zuordnung.
\feld{Reduktion} von \prob{Sat} (Vorlesung; auf 3-\prob{Sat}-Instanzen anwenden für ETH) -- \textbf{Konstruktion nie selbst gefordert. Nur Parameter und Kette merken.}
\feld{ETH} $|W| = O(mn) \le O(m^2)$, $|T| = O(m^2 n^2) \le O(m^4)$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(\sqrt{|W|})}$, $2^{o(\sqrt[4]{|T|})}$.
\feld{Rolle} Glied der Kette zu \prob{X3C} $\to$ \prob{SubsetSum} (Präsenz 13.1).

\pblock{3-EXACTCOVER (X3C)}
\feld{Def} Grundmenge $U$ ($|U| = 3q$), 3er-Mengen $F$; exakte Überdeckung durch disjunkte Mengen?
\feld{Reduktion} von 3-DM (Spezialfall: Tripel als 3er-Mengen über $U = W \dot\cup X \dot\cup Y$).
\hin/\rueck identisch -- 3-DM \emph{ist} eine X3C-Instanz.
\feld{ETH} $|U| = 3q$, $|F| = |T|$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(\sqrt{|U|})}$, $2^{o(\sqrt[4]{|F|})}$.

\pblock{SUBSETSUM}
\feld{Def} Größen $a_1, \dots, a_n$, Ziel $T$; Teilmenge mit Summe genau $T$?
\feld{Bsp} $\{3, 5, 7, 11\}$, $T = 12$: ja ($5 + 7$).
\feld{Reduktion 1} von X3C (Vorlesung): Menge $F_i \to$ Zahl $\sum_{u \in F_i} (|F|{+}1)^{u}$, $T = \sum_u (|F|{+}1)^u$ -- Basis verhindert Überträge.
\feld{Reduktion 2} von 3-\prob{Sat} (SS23-Klausur, Basis 10): $s(a_i) = 10^{i-1} + \sum_{x_i \in C_j} 10^{n+j-1}$, analog $b_i$ für $\bar x_i$; Slack $c_j, d_j = 10^{n+j-1}$; Ziel: Variablenziffern 1, Klauselziffern 3.
\hin Belegung: pro Variable $a_i$ oder $b_i$ wählen; Klauselziffer wird $1..3$, Slacks füllen auf 3.
\rueck Keine Überträge (Basis groß genug) $\to$ Variablenziffer erzwingt genau ein Item pro Paar; Klauselziffer 3 braucht $\ge 1$ echtes Literal-Item (Slacks geben nur 2).
\feld{ETH} bzgl.\ Itemzahl: nicht in $2^{o(\sqrt[4]{n})}$ (via X3C). Bzgl.\ $d$ (verschiedene Größen) und $L = \log \Delta$ (SS23!): beide $O(n + m)$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(d)}$, nicht in $2^{o(L)}$.

\pblock{SUBSETSUM-Varianten (Padding-Trickkasten)}
\feld{Cardinality ($|S| = n/2$)} Präsenz 11.3: $c_i' = c_i + 1$, plus $n$ Einser-Items, $T' = T + n$.
\hin Lösung $S$ mit Einsern auf Größe $n$ auffüllen. \rueck Einser-Items gleichen Kardinalität aus, Kern bleibt.
\feld{$(a_1 = 1)$} Alle Größen $\times 2$, ein 1-Item dazu, $T' = 2T$: Parität verhindert Nutzung der 1.
\feld{Teilbar durch 3 oder 7} Alle Größen und $T$ mit $21$ multiplizieren.
\feld{Ohne Zweierpotenzen} Alle $\times 3$: $3a$ ist nie $2^k$ (ungerader Faktor); $T' = 3T$.
\feld{AtMostTwoPerSize} \textbf{Kam SS24 als eigene Aufgabe -- Konstruktion können!} \skizze Idee: Vielfachheit $c$ einer Größe binär bündeln: Items $a, 2a, 4a, \dots$ je einmal -- alle Teilsummen $0..ca$ erreichbar. Gegen Musterlösung prüfen.
\feld{Muster} Immer: Ja-Instanzen exakt erhalten, Eigenschaft durch Skalierung/Padding erzwingen, Zieltransformation angeben.

\pblock{PARTITION}
\feld{Def} Zahlen in zwei Hälften gleicher Summe teilen?
\feld{Bsp} $\{1, 2, 3, 4\}$: $\{1,4\} | \{2,3\}$ -- ja.
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum} ($A = \sum a_i$).
\feld{Konstruktion} Zwei Zusatz-Items $2A - T$ und $A + T$; Gesamtsumme $4A$, Hälfte $= 2A$.
\hin Lösung $S$: Seite $S \cup \{2A - T\}$ hat $T + 2A - T = 2A$.
\rueck Zusatz-Items nie zusammen ($3A > 2A$); Seite mit $2A - T$ enthält Items der Summe $T$.

\pblock{$P2\,\|\,C_{\max}$ (2 Maschinen)}
\feld{Def} Jobs auf 2 Maschinen, Makespan $\le T$?
\feld{Reduktion} von \prob{Partition}: Jobs = Zahlen, $T = \frac12 \sum p_j$.
\hin Partition = perfekt balancierter Schedule. \rueck Makespan $\frac12\sum$ erzwingt exakte Balance.

\pblock{KNAPSACK (Entscheidung)}
\feld{Def} Gewichte $w_i$, Profite $p_i$, Kapazität $K$, Zielprofit $P$.
\feld{Reduktion} von \prob{SubsetSum}: $w_i = p_i = a_i$, $K = P = T$.
\hin/\rueck Summe $= T$ gdw.\ Gewicht $\le T$ und Profit $\ge T$ gleichzeitig.

\pblock{HITTINGSET}
\feld{Def} Universum $U$, Mengen $F_1, \dots, F_r$, Zahl $k$; $H$, $|H| \le k$, trifft jede $F_i$?
\feld{Bsp} $U = \{1..5\}$, $F = \{1,2\}, \{2,3\}, \{4,5\}$: $H = \{2, 4\}$, $k{=}2$ ja.
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (HA 12.2 / Probeklausur).
\feld{Konstruktion} $U$ = Literale; Paar-Mengen $\{x_i, \bar x_i\}$, Klausel-Mengen $C_j$; $k = n$.
\hin Belegung $\to$ $H$ = wahre Literale: trifft jedes Paar (eines wahr) und jede Klausel (erfülltes Literal).
\rueck $k = n$ und $n$ disjunkte Paare $\to$ genau ein Literal pro Paar = Belegung; Klauselmengen getroffen = erfüllt.
\feld{ETH} $|U| = 2n$, $r = n + m \le 4m$, $k = n$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|U|)}$, $2^{o(r)}$ (Sparsification), $2^{o(k)}$.

\pblock{SETCOVER}
\feld{Def} Mengen $F_1, \dots, F_r$ über $U$; $k$ Mengen, deren Vereinigung $U$ ist?
\feld{Reduktion} von \prob{HittingSet} (SS23-Klausur; Rollen tauschen).
\feld{Konstruktion} Bipartite Inzidenz: neues Universum $U' = [r]$ (alte Mengen-Indizes); pro altes Element $w$ die Menge $F_w' = \{i \mid w \in F_i\}$; $k' = k$.
\hin Hitting-Set $H$ trifft jede $F_i$ $\leftrightarrow$ die Mengen $\{F_w' \mid w \in H\}$ überdecken $[r]$.
\rueck symmetrisch (Dualität: Element trifft Menge $=$ Menge enthält Element).
\feld{ETH} Parameter tauschen: $|U'| = r$, $r' = |U|$ $\Rightarrow$ \prob{SetCover} nicht in $2^{o(r)}$ und nicht in $2^{o(|U|)}$ (jeweils übersetzt).

\pblock{DOMINATINGSET}
\feld{Def} $M$, $|M| = k$: jeder Knoten in $M$ oder Nachbar von $M$.
\feld{Bsp} Stern: Zentrum dominiert alles, $k{=}1$.
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (SS24-Klausur).
\feld{Konstruktion} Pro Variable Dreieck $\{x_i, \bar x_i, d_i\}$; pro Klausel Knoten $C_j$ mit Kanten zu seinen Literalen; $k = n$.
\hin Belegung $\to$ $M$ = wahre Literale: dominiert Dreieck (alle drei benachbart) und $C_j$ (erfülltes Literal).
\rueck $k = n$ Dreiecke brauchen je einen Knoten ($d_i$ nur intern nützlich $\to$ obdA Literal); $C_j$ dominiert $\to$ ein Literal wahr.
\feld{ETH} $|V| = 3n + m = O(m)$, $|E| = 3n + 3m = O(m)$ (\textbf{linear!}) $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|V|)}$ und nicht in $2^{o(|E|)}$ -- Kanten OHNE Wurzel.

\pblock{NAE-4-SAT}
\feld{Def} Klauseln $\le 4$ Literale; Belegung, sodass jede Klausel wahres UND falsches Literal hat (``not all equal'')?
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (SS25-Klausur).
\feld{Konstruktion} Frische Variable $w$; jede Klausel $C_i \to C_i \cup \{w\}$.
\hin Erfüllende Belegung $+$ $w = $ falsch: wahres Literal existiert, $w$ ist das falsche.
\rueck NAE-Lösung; obdA $w = $ falsch (sonst alles flippen -- NAE bleibt!); dann hat jede Klausel ein wahres Original-Literal.
\feld{ETH} $n' = n + 1$, $m' = m$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(n)}$, $2^{o(m)}$.

\pblock{SETSPLITTING}
\feld{Def} Grundmenge $S$, Mengen $F_i$; Partition $S = S_1 \dot\cup S_2$, sodass jede $F_i$ beide Seiten trifft?
\feld{Reduktion} von NAE-4-\prob{Sat} (SS25-Klausur).
\feld{Konstruktion} $S$ = Literale; Paar-Mengen $\{x_i, \bar x_i\}$ + Klausel-Mengen $C_i$.
\hin NAE-Belegung: $S_1$ = wahre Literale. Paare gesplittet (eins wahr, eins falsch), Klauseln gesplittet (NAE!).
\rueck Splitting: Paar-Mengen erzwingen $x_i$, $\bar x_i$ auf verschiedenen Seiten $\to$ konsistente Belegung ($S_1$ = wahr); Klausel beidseitig = NAE.
\feld{ETH} $|S| = 2n$, $r = n + m$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(|S|)}$, $2^{o(r)}$.

\pblock{GRIDTILING}
\feld{Def} $k \times k$ Gitter, Mengen $S_{i,j} \subseteq [n]^2$; Auswahl $e_{i,j} \in S_{i,j}$, zeilenweise gleiche 1.\ Komponente, spaltenweise gleiche 2.\ Komponente.
\feld{Reduktion} von \prob{Clique} (SS24-Klausur; $k \in \Theta(n)$ erlaubt).
\feld{Konstruktion} Diagonale $S_{i,i} = \{(a,a)\}$; sonst $S_{i,j} = \{(a,b) \mid \{a,b\} \in E, a \ne b\}$; $k$ übernehmen.
\hin Clique $v_1, \dots, v_k$: setze $e_{i,j} = (v_i, v_j)$ -- Konsistenz nach Konstruktion.
\rueck Zeilen-/Spaltenkonsistenz definiert $v_i$ (Diagonale erzwingt Paare $(a,a)$); Off-Diagonale erzwingt Kanten zwischen allen $v_i, v_j$.
\feld{ETH} $X = \sum |S_{i,j}| = O(k^2 |E|) = O(n^4)$, $Y = \max |S_{i,j}| = O(n^2)$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(\sqrt[4]{X})}$, $2^{o(\sqrt{Y})}$.

\pblock{$2\,|\,\mathrm{prec},\ p \in \{1,2\}\,|\,C_{\max}$}
\feld{Def} 2 Maschinen, Präzedenz-DAG, Zeiten 1/2; Makespan $\le T$?
\feld{Reduktion} von $k$-\prob{Clique} (SS24-Klausur, Konstruktion gegeben).
\feld{Konstruktion} \skizze Knoten-Jobs ($p{=}1$), Kanten-Jobs ($p{=}2$), $3|V| + 2|E|$ Dummies; Präzedenz Knoten $\to$ inzidente Kanten; $T = 2|V| + 2|E|$, $n = 4|V| + 3|E|$.
\hin Clique-Knoten früh einplanen, ihre Kanten füllen Lücken deadline-genau.
\rueck Enger Makespan erzwingt Clique-Struktur im frühen Fenster.
\feld{ETH} $n$ und $T$ linear in $|V| + |E|$; mit Clique-Schranke ($|E|$-Version, zusammenhängend): nicht in $2^{o(\sqrt{n})}$, $2^{o(\sqrt{T})}$.

\pblock{ILP-FEASIBILITY}
\feld{Def} $A x \le b$, $x \in \mathbb{Z}^N_{\ge 0}$ lösbar?
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (SS23-Klausur).
\feld{Konstruktion} Variable je Literal ($N = 2n$); pro Klausel $-\sum_{\ell \in C_i} x_\ell \le -1$; pro Variable $x_v + x_{\bar v} \le 1$ und $-x_v - x_{\bar v} \le -1$ ($M = m + 2n$).
\hin Belegung $\to$ 0/1-Vektor erfüllt alles.
\rueck Paar-Gleichungen erzwingen $x_v + x_{\bar v} = 1$ (0/1-Belegung); Klausel-Zeile = erfülltes Literal.
\feld{ETH} $M = O(m)$, $N = O(n)$ $\Rightarrow$ nicht in $2^{o(M)}$, $2^{o(N)}$.

\pblock{HALT$_{\mathrm{TM}}$ (nur NP-schwer!)}
\feld{Def} Hält DTM $M$ auf Wort $w$?
\feld{Reduktion} von 3-\prob{Sat} (HA 11.2).
\feld{Konstruktion} $M_\varphi$: probiere alle $2^n$ Belegungen; falls eine erfüllt, halte; sonst Endlosschleife. $w = \langle \varphi \rangle$.
\hin Erfüllbar $\to$ $M_\varphi$ findet Belegung und hält.
\rueck $M_\varphi$ hält nur im Erfolgsfall $\to$ erfüllbar.
\feld{Merke} NICHT in NP (unentscheidbar) $\to$ NP-schwer $\ne$ NP-vollständig. Reduktion muss polynomiell sein -- $M_\varphi$ wird nur \emph{konstruiert}, nicht ausgeführt!

\pblock{Klausur-Varianten-Tricks (Zusatzeigenschaft erzwingen)}
\feld{Universalknoten} $k$-\prob{CliqueUniversal} (HA 10.2): Universalknoten $u$ anhängen, $k' = k + 1$. Rück-Richtung: obdA $u$ in der Clique (sonst tauschen).
\feld{Verbotener Knoten} \prob{Clique-Nomember} (Präsenz 11.2): isolierten Knoten $v$ anhängen; isoliert $\to$ nie in einer Clique $\ge 2$.
\feld{Clique UND IS} \prob{CliqueAndIndependentSet} (SS24): $k$ isolierte Knoten anhängen $\to$ IS der Größe $k$ existiert immer; Clique unverändert.
\feld{Mindestgrad} $k$-\prob{Clique-Deg-3}, 3-\prob{Color} Grad 3, Hitchhiker's-\prob{HC} Grad 42: \skizze Grad per Gadget auffüllen, ohne neue Lösungen zu schaffen (Pendant-Dreiecke/Pfad-Gadgets, die keine neue Clique/Färbung/Tour ermöglichen). Bei HC: Gadget so, dass es von jedem Ham-Kreis zwangsläufig komplett durchlaufen wird.
\feld{Feste Kardinalität} \prob{SubsetSumCardinality}: $+1$-Shift und Einser-Padding (s.o.).
\feld{Grundmuster} Immer dieselben 5 Schritte: $\in$NP $\cdot$ Konstruktion $\cdot$ $\Rightarrow$ $\cdot$ $\Leftarrow$ (mit \emph{beliebiger} Lösung starten, obdA-Tausch) $\cdot$ Laufzeit + Schlusssatz.

\end{document}