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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[ngerman,provide=*]{babel}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
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\title{Hausaufgabe 10}
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\author{Marek Lenczewski \\ Matrikelnummer: 1025252}
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\date{21.\ Juni 2026}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section*{Hausaufgabe 10.1}
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\subsection*{Teil 1: FeedbackVertexSet ist in NP}
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$FEEDBACKVERTEXSET \in NP$ wurde in Hausaufgabe 9.2 gezeigt.
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\subsection*{Teil 2: FeedbackVertexSet ist NP-schwer}
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Zeige, dass $FEEDBACKVERTEXSET$ NP-schwer ist durch die Reduktion: \\
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$VERTEXCOVER \le FEEDBACKVERTEXSET$. \\
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\textbf{Konstruktion}: Sei $G$ und $k$ eine Instanz von $VERTEXCOVER$. \\
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Wir konstruieren daraus ein $FEEDBACKVERTEXSET$ durch:
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\begin{itemize}
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\item $V' = V$
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\item $E' = \{ (u,v), (v,u) \mid \{u,v\} \in E \}$
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\item $k' = k$
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\end{itemize}
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\textbf{Beweis VertexCover nach FeedbackVertexSet}:
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\begin{itemize}
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\item Sei $VC$ ein VertexCover von $G$ mit $|VC| \le k$.
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\item Somit hat jede Kante aus $G$ einen Endpunkt in $VC$.
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\item Also hat $G \setminus VC$ keine Kanten mehr.
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\item Dann hat auch $G' \setminus VC$ keine Kanten und damit keine Kreise.
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\item Also ist $VC$ ein FeedbackVertexSet für $G'$ mit $|VC| \le k'$.
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\end{itemize}
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\textbf{Beweis FeedbackVertexSet nach VertexCover}:
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\begin{itemize}
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\item Sei $FVS$ ein FeedbackVertexSet von $G'$ mit $|FVS| \le k'$.
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\item Dann ist $G' \setminus FVS$ kreisfrei.
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\item Angenommen $FVS$ wäre kein VertexCover.
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\item Dann gäbe es eine Kante $\{u, v\} \in E$ mit $u, v \notin FVS$.
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\item Somit wären $u, v$ noch in $G' \setminus FVS$ vorhanden.
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\item Die Kanten $(u, v)$ und $(v, u)$ würden einen Kreis erzeugen.
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\item Das wäre ein Widerspruch zu $G' \setminus FVS$ ist kreisfrei.
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\item Also ist $FVS$ ein VertexCover von $G$ mit $|FVS| \le k$.
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\end{itemize}
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\textbf{Laufzeit}: Nur die Kanten werden verdoppelt $O(|E|)$,
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also bleibt die Transformation polynomiell. \\
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Da $FEEDBACKVERTEXSET \in NP$ und NP-schwer ist, folgt dass
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$FEEDBACKVERTEXSET$ NP-vollständig ist. \hfill $\square$
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\newpage
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\section*{Hausaufgabe 10.2}
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\subsection*{Teil 1: $k$-CliqueUniversal ist in NP}
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Eingabe: Graph $G = (V, E)$, Zahl $k$ und Zertifikat $C \subseteq V$. \\
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Der Verifizierer arbeitet wie folgt:
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\begin{itemize}
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\item Prüfe ob $|C| \ge k$, lehne ab falls $|C| < k$.
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\item Prüfe für jedes Paar $\{x, y\} \subseteq C$ ob $\{x, y\} \in E$.
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\item Lehne ab, falls für ein Paar $\{x, y\} \notin E$.
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\item Sonst akzeptiere.
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\end{itemize}
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Existiert eine Clique $C$ mit $|C| \ge k$, dann gibt es ein Zertifikat $C$
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dafür. Dieses wird vom Verifizierer akzeptiert und sonst abgelehnt. \\
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Prüfung der Größe und aller Paare läuft in $O(|V|^2)$, somit in poly. Zeit.
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Somit ist das ein poly. Verifizierer.
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Also gilt $k\text{-}CLIQUEUNIVERSAL \in NP$.
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\subsection*{Teil 2: $k$-CliqueUniversal ist NP-schwer}
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Zeige, dass $k\text{-}CLIQUEUNIVERSAL$ NP-schwer ist durch die Reduktion: \\
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$CLIQUE \le k\text{-}CLIQUEUNIVERSAL$. \\
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$CLIQUE$ ist bereits als NP-vollständig bekannt. \\
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\textbf{Konstruktion}: Sei $G$ und $k$ eine Instanz von $CLIQUE$. \\
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Wir konstruieren daraus ein $k\text{-}CLIQUEUNIVERSAL$ durch:
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\begin{itemize}
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\item $V' = V \cup \{u\}$ mit einem neuen Knoten $u$
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\item $E' = E \cup \{ \{u, v\} \mid v \in V \}$
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\item $k' = k + 1$
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\end{itemize}
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\textbf{Beweis Clique nach $k$-CliqueUniversal}:
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\begin{itemize}
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\item Sei $C$ eine Clique von $G$ mit $|C| \ge k$.
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\item Da $u$ mit allen Knoten verbunden ist, ist $u$ auch mit allen
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Knoten aus $C$ verbunden.
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\item Damit ist $C \cup \{u\}$ eine Clique in $G'$.
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\item Dann gilt auch $|C \cup \{u\}| \ge k + 1 = k'$.
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\end{itemize}
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\textbf{Beweis $k$-CliqueUniversal nach Clique}:
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\begin{itemize}
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\item Sei $C'$ eine Clique von $G'$ mit $|C'| \ge k'$.
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\item Setze $C = C' \setminus \{u\}$, dann gilt $|C| \ge k' - 1 = k$.
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\item Alle Knoten in $C$ liegen in $V$ und alle Kanten zwischen ihnen
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liegen in $E$, da nur Kanten zu $u$ neu hinzugefügt wurden.
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\item Damit ist $C$ eine Clique in $G$ mit $|C| \ge k$.
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\end{itemize}
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\textbf{Laufzeit}: Es werden ein Knoten und $|V|$ Kanten hinzugefügt $O(|V|)$,
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also bleibt die Transformation polynomiell. \\
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Da $k\text{-}CLIQUEUNIVERSAL \in NP$ und NP-schwer ist, folgt dass
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$k\text{-}CLIQUEUNIVERSAL$ NP-vollständig ist. \hfill $\square$
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\end{document}
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