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TeX
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\contentsline {section}{\numberline {1}Ein Problem, das sich wehrt}{3}{section.1}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {1.1}Ein Graph ist ein Netz aus Punkten und Linien}{3}{subsection.1.1}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {1.2}Was ist eine Clique?}{3}{subsection.1.2}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {1.3}Der naheliegende Algorithmus -- und warum er scheitert}{4}{subsection.1.3}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {1.4}Die Frage, die den ganzen Kurs trägt}{5}{subsection.1.4}%
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\contentsline {section}{\numberline {2}Was heißt eigentlich \quotedblbase schnell\textquotedblleft ?}{5}{section.2}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {2.1}Geschwindigkeit misst man in der Eingabegröße}{6}{subsection.2.1}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {2.2}Die Klasse P}{6}{subsection.2.2}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {2.3}Warum wir alles als Ja/Nein-Frage schreiben}{6}{subsection.2.3}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {2.4}Ein Stolperstein, der später wichtig wird}{7}{subsection.2.4}%
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\contentsline {section}{\numberline {3}Prüfen ist leichter als Lösen}{7}{section.3}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {3.1}Die Sudoku-Beobachtung}{7}{subsection.3.1}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {3.2}Zertifikat und Verifizierer}{8}{subsection.3.2}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {3.3}Der NP-Dreischritt: so beweist man \quotedblbase $\in \mathsf {NP}$\textquotedblleft }{8}{subsection.3.3}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {3.4}Die zweite Sicht: Raten}{9}{subsection.3.4}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {3.5}P steckt in NP -- und die Millionenfrage}{10}{subsection.3.5}%
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\contentsline {section}{\numberline {4}Reduktionen: Probleme miteinander vergleichen}{10}{section.4}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Die Grundidee: ein Problem durch ein anderes lösen}{10}{subsection.4.1}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {4.2}Die präzise Definition}{11}{subsection.4.2}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {4.3}Die Richtung -- lies das zweimal}{11}{subsection.4.3}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {4.4}Reduktionen lassen sich verketten}{12}{subsection.4.4}%
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\contentsline {section}{\numberline {5}Die härtesten Probleme: NP-vollständig}{12}{section.5}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {5.1}Zwei Begriffe: NP-schwer und NP-vollständig}{13}{subsection.5.1}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {5.2}Warum ein Algorithmus für eines alle löst}{13}{subsection.5.2}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {5.3}Der Anker: der Satz von Cook und Levin}{14}{subsection.5.3}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {5.4}Das Arbeitspferd: das Vererbungskorollar}{14}{subsection.5.4}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {5.5}Die Landkarte der Schwere}{14}{subsection.5.5}%
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\contentsline {section}{\numberline {6}Der Problem-Zoo}{15}{section.6}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {6.1}SAT -- das Ur-Problem der Logik}{15}{subsection.6.1}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {6.2}3-SAT -- SAT mit kurzen Klauseln}{16}{subsection.6.2}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {6.3}Clique, Independent Set, Vertex Cover -- ein Trio}{16}{subsection.6.3}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {6.4}$k$-Color -- die Landkarten-Färbung}{17}{subsection.6.4}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {6.5}Hamiltonkreis -- die Rundreise durch alle Knoten}{18}{subsection.6.5}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {6.6}TSP -- die kürzeste Rundreise}{19}{subsection.6.6}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {6.7}Die Mengen- und Zahlprobleme}{19}{subsection.6.7}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {6.8}Scheduling: $P\|C_{\max }$}{20}{subsection.6.8}%
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\contentsline {section}{\numberline {7}Reduktionen im Detail}{20}{section.7}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {7.1}$\textsc {SAT} \leq _{p}\textsc {Clique}$: aus Logik wird ein Graph}{20}{subsection.7.1}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {7.2}$\textsc {Clique} \leq _{p}\textsc {VC}$: das Komplement genügt}{22}{subsection.7.2}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {7.3}$\textsc {VC} \leq _{p}\textsc {FVS}$: ungerichtet wird gerichtet}{22}{subsection.7.3}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {7.4}$\textsc {3-SAT} \leq _{p}\textsc {3-Color}$: Wahrheit als Farbe}{23}{subsection.7.4}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {7.5}$\textsc {3-EC} \leq _{p}\textsc {SubSet Sum}$: Mengen werden Zahlen}{23}{subsection.7.5}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {7.6}$\textsc {SubSet Sum} \leq _{p}\textsc {Partition}$: zwei Zusatzzahlen}{24}{subsection.7.6}%
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\contentsline {section}{\numberline {8}Wie schwer \emph {genau}? Die ETH}{25}{section.8}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {8.1}Die Lücke, die NP-Vollständigkeit offen lässt}{25}{subsection.8.1}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {8.2}Die Hypothese}{26}{subsection.8.2}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {8.3}Wie ein ETH-Schranken-Beweis aussieht}{26}{subsection.8.3}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {8.4}Warum das Sparsification-Lemma nötig ist}{27}{subsection.8.4}%
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\contentsline {section}{\numberline {9}Damit leben: gute Näherungen}{28}{section.9}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {9.1}Was heißt \quotedblbase gute Näherung\textquotedblleft ?}{28}{subsection.9.1}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {9.2}TSP ist im Allgemeinen gar nicht approximierbar}{29}{subsection.9.2}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {9.3}$\Delta $TSP$_1$: der Algorithmus als Bilderfolge}{29}{subsection.9.3}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {9.4}Christofides: schlauer verdoppeln}{31}{subsection.9.4}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {9.5}Knapsack: warum pure Gier scheitert}{32}{subsection.9.5}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {9.6}Scheduling: einfache Regeln, sichtbar im Gantt-Bild}{33}{subsection.9.6}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {9.7}MAX-3-SAT: Güte 2 fast geschenkt}{34}{subsection.9.7}%
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\contentsline {section}{\numberline {10}Jenseits von NP: das Halteproblem}{35}{section.10}%
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\contentsline {section}{\numberline {11}Das große Ganze}{35}{section.11}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {11.1}Die Reise auf einen Blick}{36}{subsection.11.1}%
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\contentsline {subsection}{\numberline {11.2}Wahr oder falsch? (Die Begründung zählt)}{36}{subsection.11.2}%
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\contentsline {section}{\numberline {A}Lösungen zu den Abruf-Fragen}{36}{appendix.A}%
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