# Frage-Muster für Lern-Prüfung: aak

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## BAUSTEIN: CliqueAndIndependentSet-Problem

### Subbaustein: Independent Set: Knotenmenge ohne Kanten zwischen je zwei Knoten
**Muster:** Was ist die formale Definition eines Independent Set in einem Graphen G = (V, E)?

### Subbaustein: Komplementgraph (V, E) bildet IS und Clique aufeinander ab
**Muster:** Wie hängt die Existenz einer Clique in G mit der Existenz eines Independent Set in G' (dem Komplementgraphen) zusammen?

### Subbaustein: Existenz von Independent Set der Größe k ist NP-vollständig
**Muster:** Durch welche Polynomialzeitreduktion lässt sich zeigen, dass Independent Set NP-schwer ist?

### Subbaustein: Existenz von Clique der Größe k ist NP-vollständig
**Muster:** Wie wird in Satz 6.26 die NP-Schwere von k-Clique bewiesen?

### Subbaustein: Reduktion k-CLIQUE ⪯ k-INDEPENDENT-SET mittels Komplementgraph
**Muster:** Wie transformiert man eine Instanz (G, k) von CLIQUE in eine Instanz von INDEPENDENT-SET?

### Subbaustein: Clique: Knotenmenge, in der je zwei Knoten durch eine Kante verbunden sind
**Muster:** Wann ist eine Knotenmenge C ⊆ V eine Clique in einem Graphen G = (V, E)?

### Subbaustein: Complementärgraph: Independent Set in G ist Clique in G̅
**Muster:** Welche Beziehung besteht zwischen einem Independent Set in G und einer Clique in G̅?

### Subbaustein: Beide Probleme sind NP-vollständig
**Muster:** Welche fundamentale Konsequenz ergibt sich aus Satz 6.16, wenn ein NP-vollständiges Problem in P liegt?

### Subbaustein: Frage: Existiert Independent Set bzw. Clique der Größe k in G?
**Muster:** Was ist die Eingabe und was die Ausgabe bei den Entscheidungsproblemen k-Clique und k-Independent-Set?

### Subbaustein: Komplementarität: Independent Set in G = Clique im Komplementgraphen
**Muster:** Warum sind Clique und Independent Set gegenseitig in Polynomialzeit aufeinander reduzierbar?

### Subbaustein: CLIQUE: Knotenmenge in der je zwei Knoten durch Kante verbunden sind
**Muster:** Welche Bedingung müssen alle Knotenpaare einer Clique erfüllen?

### Subbaustein: Komplementär: IS in G = CLIQUE in G̅
**Muster:** Was bleibt bei der Bildung des Komplementgraphen G̅ gleich und was ändert sich?

### Subbaustein: Existenz von IS bzw. CLIQUE der Größe k ist NP-vollständig
**Muster:** Welche untere Schranke für die Laufzeit von Algorithmen für Independent Set folgt aus der ETH?

### Subbaustein: Formale Sprachen: CLIQUE = {(G,k) | G enthält Clique ≥ k}
**Muster:** Wie ist die formale Sprache CLIQUE über dem Alphabet Σ = {0, 1} kodiert?

### Subbaustein: Formale Sprachen: INDEPENDENT-SET = {(G,k) | G enthält IS ≥ k}
**Muster:** Welche Struktur hat die formale Sprache INDEPENDENT-SET?

### Subbaustein: Komplementgraph G̅: Kantenmenge E̅ = {(u,v) | u≠v und {u,v} ∉ E}
**Muster:** Wie unterscheiden sich die Kantenmengen von G und seinem Komplementgraphen G̅?

### Subbaustein: K-Clique in G entspricht K-Unabhängige-Menge in G̅
**Muster:** Bleibt die Größe k bei der Reduktion von k-Clique auf k-Independent-Set erhalten?

### Subbaustein: Beide Probleme sind in NP (Verifizierer existiert)
**Muster:** Welche Eigenschaft müssen Zertifikat und Verifizierer für ein Problem in NP erfüllen?

### Subbaustein: NP-vollständig via gegenseitige Reduktion über Komplementgraph
**Muster:** Wie folgt aus Korollar 6.18 die NP-Vollständigkeit von Independent Set?

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## BAUSTEIN: Reduktion CLIQUE → CLIQUE-NOMEMBER

### Subbaustein: Füge isolierten Knoten v zu G hinzu: G' = G ∪ {v}
**Muster:** Wie wird bei der Reduktion von CLIQUE auf CLIQUE-NOMEMBER der neue Graph G' konstruiert?

### Subbaustein: G hat k-Clique ⟺ G' hat (k+1)-Clique mit v
**Muster:** Warum kann der hinzugefügte Knoten v in keiner gültigen k-Clique von G' enthalten sein?

### Subbaustein: Reduktion beweist CLIQUE-NOMEMBER ∈ NP-vollständig
**Muster:** Welche drei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit CLIQUE-NOMEMBER als NP-vollständig gilt?

### Subbaustein: CLIQUE: Eingabe Graph G, Frage: existiert K-clique?
**Muster:** Was ist die Eingabe und was ist die Frage beim Entscheidungsproblem CLIQUE?

### Subbaustein: CLIQUE-NOMEMBER: existiert Knoten der nicht in jeder maximalen Clique liegt?
**Muster:** Wie ist das Problem CLIQUE-NOMEMBER gemäß Skript 6.50 formal definiert?

### Subbaustein: Reduktion: isolierten Knoten v zu G hinzufügen → G'
**Muster:** Welche Elemente werden bei der Reduktion von CLIQUE auf CLIQUE-NOMEMBER gegenüber der ursprünglichen Instanz verändert?

### Subbaustein: G' hat Clique der Größe k genau dann wenn G eine hat
**Muster:** Warum bleibt die Cliquengröße k bei der Reduktion unverändert?

### Subbaustein: v ist in G' in keiner k-Clique (isoliert)
**Muster:** Welche Eigenschaft hat der Knoten v in der konstruierten Instanz (G', v, k)?

### Subbaustein: G hat Clique der Größe k ⟺ G' hat Clique der Größe k ohne v
**Muster:** Wie hängt eine k-Clique in G mit einer k-Clique in G' zusammen?

### Subbaustein: Polynomielle Transformation
**Muster:** Warum ist die beschriebene Reduktion in polynomieller Zeit berechenbar?

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## BAUSTEIN: Independent Set

### Subbaustein: Für alle u, v ∈ S gilt: {u, v} ∉ E
**Muster:** Welche Bedingung muss für je zwei Knoten eines Independent Set gelten?

### Subbaustein: Komplementär zur Clique
**Muster:** Wie hängt ein Independent Set in G mit einer Clique im Komplementgraphen G' zusammen?

### Subbaustein: NP-vollständiges Problem
**Muster:** Welche Komplexitätsklasse enthält Independent Set und wie wurde dies bewiesen?

### Subbaustein: Knotenmenge ohne Kanten zwischen je zwei Knoten der Menge
**Muster:** Was bedeutet es, dass die Knoten eines Independent Set paarweise nicht adjazent sind?

### Subbaustein: Komplementär zum Clique-Problem
**Muster:** In welchem Graphen entspricht ein Independent Set einer Clique?

### Subbaustein: Independent Set S⊆V: keine Kante zwischen je zwei Knoten in S
**Muster:** Wie unterscheidet sich ein Independent Set von einer beliebigen Teilmenge von V?

### Subbaustein: INDEPENDENT-SET = {(G,k) | G enthält unabhängige Menge der Größe ≥k}
**Muster:** Welche Sprache formalisiert das Entscheidungsproblem Independent Set?

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## BAUSTEIN: Tiefensuche (DFS) für Zykluserkennung

### Subbaustein: Weiß: unbesuchter Knoten, Grau: aktuell in Bearbeitung, Schwarz: fertig
**Muster:** Welche Farbe hat ein Knoten während er von der DFS bearbeitet wird und welche nach Abschluss?

### Subbaustein: DFS-Zykluserkennung in O(V+E) bei adjacency List
**Muster:** Warum beträgt die Laufzeit der DFS-Zykluserkennung bei Adjazenzliste Θ(|V|+|E|)?

### Subbaustein: Schwarz: vollständig bearbeiteter Knoten
**Muster:** Wann wird ein Knoten in der DFS schwarz gefärbt?

### Subbaustein: Rückkante (grau → weiß): signalisiert Zyklus
**Muster:** Zu einem Knoten welcher Farbe muss eine Kante führen, um einen Zyklus anzuzeigen?

### Subbaustein: Tree Edge (weiß): Kante zu unbesuchtem Knoten
**Muster:** Welche Kante wird als Tree Edge bezeichnet?

### Subbaustein: Grau: aktuell in Bearbeitung (in DFS-Weite)
**Muster:** Was bedeutet es, wenn ein Knoten während der DFS grau gefärbt ist?

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## BAUSTEIN: Turingmaschine für 0^n (Zweierpotenz)

### Subbaustein: Eingabe: n Nullen in unärer Codierung
**Muster:** In welcher Codierung wird die Eingabezahl n der TM für 0^n dargestellt?

### Subbaustein: Akzeptiert nur wenn n = 2^k für ein k ≥ 0
**Muster:** Nach welchem Kriterium entscheidet die TM, ob eine Eingabe akzeptiert wird?

### Subbaustein: Phase 1: Markiere jede zweite 0 mit x (alternierend)
**Muster:** Wie markiert die TM die Nullen im ersten Schritt?

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## BAUSTEIN: 3-SAT zu 3-Färbung Reduktion

### Subbaustein: Knotenzahl linear in Variablen und Klauseln
**Muster:** Aus welchen Komponenten setzt sich die Knotenmenge V der konstruierten Instanz zusammen?

### Subbaustein: Dreieck erzwingt drei verschiedene Farben für die drei Knoten
**Muster:** Warum benötigen die drei Knoten xi, x̄i und vi eines jeden Dreiecks drei verschiedene Farben?

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## BAUSTEIN: MC-Knapsack

### Subbaustein: Ziel: Maximierung des Gesamtwerts
**Muster:** Was ist die Zielfunktion beim Maximum-Cut Knapsack Problem?

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**Gesamt: 48 Frage-Muster**
