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This commit is contained in:
team3
@@ -25,7 +25,7 @@
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 1 von 12
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Aufgabe 1 KOMPLEXITÄT: A NWENDUNG LPT (4+2+2+2 Punkte)
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Aufgabe 1 KOMPLEXITÄT: ANWENDUNG LPT (4+2+2+2 Punkte)
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Gegeben ist folgende Scheduling Instanz:
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Jj J1 J2 J3 J4 J5 J6 J7
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m=3
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@@ -68,7 +68,7 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 3 von 12
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Aufgabe 2 KOMPLEXITÄT: B EWEIS : K -C LIQUE (10 Punkte)
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Aufgabe 2 KOMPLEXITÄT: BEWEIS : K -CLIQUE (10 Punkte)
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Beweisen Sie folgende Aussage aus der Vorlesung:
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SAT ≤ k-Clique.
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Hinweis: NICHT 3-SAT, sondern allgemeines SAT!
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@@ -103,9 +103,9 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 6 von 12
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Aufgabe 4 KOMPLEXITÄT: A PPROXIMATIVE A LGORITHMEN (3+7 Punkte)
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Aufgabe 4 KOMPLEXITÄT: APPROXIMATIVE ALGORITHMEN (3+7 Punkte)
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Wir betrachten folgendes Problem:
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Problem: A PPROXIMATE S UBSET S UM
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Problem: APPROXIMATE SUBSET SUM
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Eingabe: n ganze Zahlen a1 , . . . an und ein Zielwert T . Es gilt ai ≤ T ∀i ∈ [n] sowie ∑i∈[n] ai >
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T.
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Ziel: Wähle Zahlenmenge S ⊆ {1, . . . n} mit ∑ j∈S a j ≤ T und maximiere ∑ j∈S a j .
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@@ -214,7 +214,7 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 10 von 12
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 11 von 12
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Aufgabe 6 B ONUSAUFGABE (10 Punkte)
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Aufgabe 6 BONUSAUFGABE (10 Punkte)
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Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage:
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Wenn die ETH fehlschlägt gilt P = NP.
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@@ -251,7 +251,7 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 1 von 16
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Aufgabe 1 ∆T SP1 (6+2+2 Punkte)
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Aufgabe 1 ∆TSP1 (6+2+2 Punkte)
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Gegeben sei folgender Graph G = (V, E), bei dem die Kantengewichte jeweils an der nach außen
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gerichteten Seite der Kante stehen:
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@@ -268,20 +268,20 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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d c
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2
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a) Wenden Sie den Algorithmus ∆T SP1 auf den Graphen G beginnend bei a an. Geben Sie dabei
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a) Wenden Sie den Algorithmus ∆TSP1 auf den Graphen G beginnend bei a an. Geben Sie dabei
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die Ergebnisse jedes Zwischenschrittes des Algorithmus an.
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 2 von 16
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b) Beschreiben Sie, was der Algorithmus ∆T SP1 berechnet und geben Sie die Bedingungen an,
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b) Beschreiben Sie, was der Algorithmus ∆TSP1 berechnet und geben Sie die Bedingungen an,
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die an den Graphen gestellt sind, damit der Algorithmus eine korrekte Lösung berechnet.
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c) Begründen Sie, warum der Algorithmus ∆T SP1 eine approximative Güte von 2 besitzt.
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c) Begründen Sie, warum der Algorithmus ∆TSP1 eine approximative Güte von 2 besitzt.
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@@ -326,11 +326,11 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 7 von 16
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 8 von 16
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Aufgabe 4 KOMPLEXITÄT: A PPROXIMATIVE A LGORITHMEN (10+(10) Punkte)
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Aufgabe 4 KOMPLEXITÄT: APPROXIMATIVE ALGORITHMEN (10+(10) Punkte)
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Wir betrachten das aus der Vorlesung bekannte Makespan Scheduling Problem P||Cmax . Dazu ist
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folgender Algorithmus gegeben:
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Algorithmus ROUND ROBIN S CHEDULING(I=(J,m))
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Algorithmus ROUND ROBIN SCHEDULING(I=(J,m))
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1 sortiere die Jobs in J so, dass p1 ≥ p2 ≥ · · · ≥ pn gilt;
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2 setze B1 = · · · = Bm = 0;
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@@ -509,27 +509,27 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 3 von 11
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Aufgabe 2 L ONGEST PATH (3+3+4 Punkte)
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Aufgabe 2 LONGEST PATH (3+3+4 Punkte)
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Betrachten Sie das folgende Problem:
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Problem: L ONGEST PATH
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Problem: LONGEST PATH
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Eingabe: Eine ungerichteter Graph G = (V, E) und eine Zahl k.
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Entscheide: Gibt es einen Pfad in G, der mindestens Länge k hat?
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Zeigen Sie auf verschiedene Weisen, dass das Problem in NP liegt:
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a) Geben Sie ein Zertifikat für L ONGEST PATH an.
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b) Beschreiben Sie einen Verifizierer für L ONGEST PATH und geben Sie dessen Laufzeit konkret
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a) Geben Sie ein Zertifikat für LONGEST PATH an.
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b) Beschreiben Sie einen Verifizierer für LONGEST PATH und geben Sie dessen Laufzeit konkret
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an.
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c) Beschreiben Sie eine nicht-deterministische Turing-Maschine (in Worten), die L ONGEST PATH
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c) Beschreiben Sie eine nicht-deterministische Turing-Maschine (in Worten), die LONGEST PATH
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löst. Geben Sie auch hier die Laufzeit konkret an.
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 4 von 11
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Aufgabe 3 A PPROXIMATIVE A LGORITHMEN (6+4 Punkte)
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Das Problem M AX -3-S AT sei folgendermaßen definiert:
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Problem: M AX -3-S AT
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Aufgabe 3 APPROXIMATIVE ALGORITHMEN (6+4 Punkte)
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Das Problem MAX -3-SAT sei folgendermaßen definiert:
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Problem: MAX -3-SAT
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Eingabe: Eine Formel φ in konjunktiver Normalform, wobei jede Klausel drei Literale enthält.
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Ausgabe: Eine Belegung β der Variablen, die die Anzahl v(β ) der erfüllten Klauseln maximiert.
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@@ -550,16 +550,16 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 5 von 11
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Aufgabe 4 B EWEIS ZUR VORLESUNG (10 Punkte)
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Aufgabe 4 BEWEIS ZUR VORLESUNG (10 Punkte)
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Betrachten Sie folgendes Problem aus der Vorlesung:
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Problem: k-C LIQUE
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Problem: k-CLIQUE
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Eingabe: Ein ungerichteter Graph G = (V, E) und eine Zahl k ≥ 1. Eine Clique ist eine Teil-
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menge C ⊆ V mit {u, v} ∈ E für alle u, v ∈ C mit u ̸= v.
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Entscheide: Hat der gegebene Graph G eine Clique C ⊆ V mit mindestens k Knoten (d.h. mit
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|C| ≥ k)?
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Beweisen Sie: Das Problem k-C LIQUE ist NP-vollständig.
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Beweisen Sie: Das Problem k-CLIQUE ist NP-vollständig.
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@@ -568,9 +568,9 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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Aufgabe 5 NP UND NP-VOLLSTÄNDIGKEIT (4+4+7 Punkte)
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a) Beweisen Sie die NP-Vollständigkeit von S UBSET S UM, bei der jede Itemgröße jeweils durch
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a) Beweisen Sie die NP-Vollständigkeit von SUBSET SUM, bei der jede Itemgröße jeweils durch
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3 oder durch 7 teilbar ist.
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b) Beweisen Sie die NP-Vollständigkeit von 3-C OLOR, wobei jeder Knoten im Graph mindes-
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b) Beweisen Sie die NP-Vollständigkeit von 3-COLOR, wobei jeder Knoten im Graph mindes-
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tens Grad 3 hat.
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c) Zeigen Sie: Für kein α > 1 gibt es einen approximativen Algorithmus mit Güte α (d.h. mit
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Zielfunktionswert ≤ α · OPT) für TSP, außer P = NP (Denken Sie an Wiliam Rowan Hamil-
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@@ -581,23 +581,23 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 7 von 11
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 8 von 11
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Aufgabe 6 U NTERE S CHRANKEN UND ETH (7+8 Punkte)
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Aufgabe 6 UNTERE SCHRANKEN UND ETH (7+8 Punkte)
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Betrachten Sie folgende Reduktionen:
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Problem: H ITTING S ET
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Problem: HITTING SET
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Eingabe: Eine Menge U sowie r Teilmengen F1 , . . . , Fr ⊆ U und eine Zahl k.
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Entscheide: Gibt es eine Menge S ⊆ U mit |S| ≤ k und S ∩ Fi ̸= 0/ für alle i ∈ [r]?
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a) 3-SAT ⪯ H ITTING S ET: Seien v1 , . . . , vn die Variablen der Formel und C1 , . . . ,Cm die Klau-
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a) 3-SAT ⪯ HITTING SET: Seien v1 , . . . , vn die Variablen der Formel und C1 , . . . ,Cm die Klau-
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seln. Setze U = { v1 , v1 , . . . , vn , vn } und k = n. Für jede Variable vi definiere eine Menge
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Fi = {vi , vi } und für jede Klausel C j definiere eine Menge Fn+ j = C j
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Welche unteren Schranken ergeben sich durch obige Reduktion für die Laufzeit von Algorith-
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men für H ITTING S ET unter Annahme der ETH in Abhängigkeit von
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men für HITTING SET unter Annahme der ETH in Abhängigkeit von
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(i) r?
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(ii) |U|?
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Beweisen Sie die entsprechenden unteren Schranken!
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Hinweis: Sie dürfen – wie in den Hausaufgaben zur ETH – Faktoren, die polynomiell in der
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Eingabekodierung sind, vernachlässigen.
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b) 3-S AT ⪯ S UBSET S UM: Seien v1 , . . . , vn die Variablen der Formel und C1 , . . . ,Cm die Klauseln.
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b) 3-SAT ⪯ SUBSET SUM: Seien v1 , . . . , vn die Variablen der Formel und C1 , . . . ,Cm die Klauseln.
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Für jede Variable vi erzeuge zwei Items ai und bi , mit den Größen
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s(ai ) = 10i−1 + ∑ 10n+ j−1 und s(bi ) = 10i−1 + ∑ 10n+ j−1 .
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@@ -614,7 +614,7 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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j∈[m] i∈[n]
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Welche unteren Schranken ergeben sich durch obige Reduktion für die Laufzeit von Algorith-
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men für S UBSET S UM unter Annahme der ETH in Abhängigkeit von
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men für SUBSET SUM unter Annahme der ETH in Abhängigkeit von
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(i) der Anzahl der unterschiedlichen Itemgrößen d?
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(ii) der binären Kodierungslänge L der größten Itemgröße ∆ (d.h. L = log(∆))?
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Beweisen Sie die entsprechenden unteren Schranken!
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@@ -654,7 +654,7 @@ Hinweise:
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• Einsichtnahme: 2.11.23, 13:30-14:30 Uhr.
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• Die Klausur hat 6 Aufgaben auf 13 Seiten – überprüfen Sie bitte vor der Bearbeitung, dass Ihre Klausur
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vollständig ist.
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Aufgabe 1 C HRISTOFIDES ’ A LGORITHMUS (3+7 Punkte)
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Aufgabe 1 CHRISTOFIDES ’ ALGORITHMUS (3+7 Punkte)
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Gegeben sei folgender Graph G = (V, E) :
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d
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@@ -688,29 +688,29 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 2 von 19
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Aufgabe 2 D OMINATING S ET (3+3+4 Punkte)
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Aufgabe 2 DOMINATING SET (3+3+4 Punkte)
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Betrachten Sie das folgende Problem:
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Problem: D OMINATING S ET
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Problem: DOMINATING SET
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Eingabe: Ein ungerichteter Graph G = (V, E) (wobei V = {1, . . . , n} für eine Zahl n ∈ N≥1 )
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und eine Zahl k ∈ N0 .
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Entscheide: Gibt es eine Teilmenge D ⊆ V der Knoten mit |D| ≤ k, sodass jeder Knoten v ∈ V
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in D enthalten ist oder benachbart zu mindestens einem der Knoten in D ist?
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Zeigen Sie auf verschiedene Weisen, dass das Problem in NP liegt:
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a) Geben Sie ein Zertifikat für D OMINATING S ET an.
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b) Beschreiben Sie einen polynomiellen Verifizierer für D OMINATING S ET und schätzen Sie die
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a) Geben Sie ein Zertifikat für DOMINATING SET an.
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b) Beschreiben Sie einen polynomiellen Verifizierer für DOMINATING SET und schätzen Sie die
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Laufzeit in O-Notation konkret ab.
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c) Beschreiben Sie (in Worten) eine polynomielle, nicht-deterministische Turing-Maschine, die
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D OMINATING S ET löst. Schätzen Sie auch hier die Laufzeit in O-Notation konkret ab.
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DOMINATING SET löst. Schätzen Sie auch hier die Laufzeit in O-Notation konkret ab.
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 3 von 19
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 4 von 19
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Aufgabe 3 A PPROXIMATIVE A LGORITHMEN (6+4 Punkte)
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Das Problem M IN -E DGE -C OVER sei folgendermaßen definiert:
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Problem: M IN -E DGE -C OVER
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Aufgabe 3 APPROXIMATIVE ALGORITHMEN (6+4 Punkte)
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Das Problem MIN -EDGE -COVER sei folgendermaßen definiert:
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Problem: MIN -EDGE -COVER
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Eingabe: Ein zusammenhängender, ungerichteter Graph G = (V, E).
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Ausgabe: Eine Teilmenge der Kanten C ⊆ E mit minimaler Kardinalität, sodass jeder Knoten
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v ∈ V zu mindestens einer Kante aus C inzident ist.
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@@ -731,7 +731,7 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 5 von 19
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b) Sei n ∈ N≥4 gerade. Betrachten Sie den Graphen Gn , der genau n Knoten und n Kanten hat und
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einen Kreis beschreibt. D.h. Gn = ({1, . . . , n}, {{i, i+1} | i ∈ {1, . . . , n−1}}∪{{n, 1}}). Wie viele
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Kanten hat ein M IN -E DGE -C OVER des Graphen Gn ? Wie schlecht ist die Approximationsrate
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Kanten hat ein MIN -EDGE -COVER des Graphen Gn ? Wie schlecht ist die Approximationsrate
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des Algorithmus A für Gn im schlimmsten Fall? Geben Sie eine Reihenfolge der Knoten (für
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Schritt 1) und eine Auswahl der Kanten (für Schritt 2) an, die zu einer möglichst schlechten
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Approximationsrate führen.
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@@ -740,7 +740,7 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 6 von 19
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Aufgabe 4 B EWEIS – S CHEDULING AUF IDENTISCHEN M ASCHINEN (10 Punkte)
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Aufgabe 4 BEWEIS – SCHEDULING AUF IDENTISCHEN MASCHINEN (10 Punkte)
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Betrachten Sie das Scheduling-Problem P||Cmax :
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Problem: P||Cmax
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Eingabe: Eine Liste L = (J1 , . . . , Jn ) von n Jobs mit Ausführungszeiten p1 , . . . , pn ∈ N, und m
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@@ -755,7 +755,7 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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||||
LS(I) die Last Cmax eines Schedules des Algorithmus, und OPT(I) die Last Cmax eines optimalen
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||||
Schedules zur Eingabe I. Zeigen Sie: Für alle Eingaben I = (L, m) gilt LS(I)/OPT(I) ≤ 2 − 1/m.
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Algorithmus L IST S CHEDULING(L = (J1 , . . . , Jn ), m)
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Algorithmus LIST SCHEDULING(L = (J1 , . . . , Jn ), m)
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||||
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||||
1 for i = 1 to m do
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||||
2 Ei = 0; Bi = 0/ ;
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@@ -774,19 +774,19 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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||||
Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 8 von 19
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Aufgabe 5 NP UND NP-VOLLSTÄNDIGKEIT (4+5+6 Punkte)
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Problem: H AMILTONIAN PATH
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Problem: HAMILTONIAN PATH
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Eingabe: Ein ungerichteter Graph G = (V, E)
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Entscheide: Existiert ein Pfad in G, der jeden Knoten genau einmal besucht?
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Problem: H AMILTONIAN C YCLE
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||||
Problem: HAMILTONIAN CYCLE
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||||
Eingabe: Ein ungerichteter Graph G = (V, E)
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||||
Entscheide: Existiert ein Kreis in G, der jeden Knoten genau einmal besucht?
|
||||
|
||||
(a) Sei L ⊆ S UBSET S UM die Menge der (positiven) SubsetSum-Instanzen, bei denen keine der
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||||
(a) Sei L ⊆ SUBSET SUM die Menge der (positiven) SubsetSum-Instanzen, bei denen keine der
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||||
Itemgrößen eine Zweierpotenz ist. Zeigen Sie, dass L NP-vollständig ist.
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||||
(b) Geben Sie eine polynomielle Reduktion von H AMILTONIAN PATH auf H AMILTONIAN C Y-
|
||||
(b) Geben Sie eine polynomielle Reduktion von HAMILTONIAN PATH auf HAMILTONIAN C Y-
|
||||
CLE an.
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||||
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||||
(c) Geben Sie eine polynomielle Reduktion von H AMILTONIAN C YCLE auf H AMILTONIAN -
|
||||
(c) Geben Sie eine polynomielle Reduktion von HAMILTONIAN CYCLE auf HAMILTONIAN -
|
||||
PATH an.
|
||||
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||||
|
||||
@@ -795,14 +795,14 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 9 von 19
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 10 von 19
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Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 11 von 19
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Aufgabe 6 U NTERE S CHRANKEN UND ETH (5+5 Punkte)
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||||
Aufgabe 6 UNTERE SCHRANKEN UND ETH (5+5 Punkte)
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Im Folgenden bezeichne ⟨I⟩ die Kodierungslänge der Instanz.
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(a) Wir betrachten folgendes Problem:
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Problem: H ITTING S ET
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||||
Problem: HITTING SET
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Eingabe: Eine Menge U ′ sowie r′ Teilmengen F1′ , . . . , Fr′′ ⊆ U ′ und eine Zahl k′ .
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||||
Entscheide: Gibt es eine Menge S′ ⊆ U ′ mit |S′ | ≤ k′ und S′ ∩ Fi′ ̸= 0/ für alle i′ ∈ {1, . . . , r′ }?
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||||
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||||
Sie dürfen nutzen, dass sich H ITTING S ET unter Annahme der ETH nicht in Zeit 2o(r ) ⟨I⟩O(1)
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||||
Sie dürfen nutzen, dass sich HITTING SET unter Annahme der ETH nicht in Zeit 2o(r ) ⟨I⟩O(1)
|
||||
′
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||||
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||||
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@@ -810,7 +810,7 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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′
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||||
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||||
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Problem: S ET C OVER
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Problem: SET COVER
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Eingabe: Eine Menge U sowie r Teilmengen F1 , . . . , Fr ⊆ U und eine Zahl k.
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||||
Entscheide: Gibt es eine Menge S ⊆ {1, . . . , r} mit |S| ≤ k und i∈S Fi = U?
|
||||
S
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||||
@@ -819,9 +819,9 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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||||
Welche unteren Schranken ergeben sich
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||||
(i) in Hinblick auf |U| sowie
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||||
(ii) in Hinblick auf r
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für S ET C OVER unter Annahme der ETH aus den unteren Schranken für H ITTING S ET, wenn
|
||||
für SET COVER unter Annahme der ETH aus den unteren Schranken für HITTING SET, wenn
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||||
man folgende Reduktion von SetCover auf HittingSet verwendet?
|
||||
Sei (F ,U, k) eine S ET C OVER-Instanz. Setze V1 := U und V2 := {1, . . . , r}. Sei V := V1 ∪V˙ 2.
|
||||
Sei (F ,U, k) eine SET COVER-Instanz. Setze V1 := U und V2 := {1, . . . , r}. Sei V := V1 ∪V˙ 2.
|
||||
Weiter sei E = { {v, w} | v ∈ V1 , w ∈ V2 , v ∈ Fw }. Damit ist G = (V, E) ein bipartiter Graph
|
||||
mit Partitionen V1 ,V2 . Setze U ′ := {1, . . . , r}. Erzeuge nun eine Menge Fw′ für jeden Knoten
|
||||
w ∈ V1 , indem Fw′ := { v ∈ V2 | {v, w} ∈ E } gesetzt wird. Sei F ′ := { Fw′ | w ∈ V1 }. Mit k′ = k
|
||||
@@ -833,14 +833,14 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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||||
Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)« Seite 12 von 19
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||||
(b) Wir wollen uns mit einem Problem beschäftigen, das ein mächtiges Werkzeug im Bereich
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der Optimierung ist: Integrale Lineare Programme (ILPs).
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Problem: ILP-F EASIBILITY
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Problem: ILP-FEASIBILITY
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Eingabe: Eine Matrix A ∈ ZM×N , eine rechte Seite b ∈ ZM .
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Entscheide: Gibt es einen Vektor x ∈ ZN≥0 mit Ax ≤ b, d.h. Ai xi ≤ bi für alle i ∈ {1, . . . , M}?
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Welche unteren Schranken ergeben sich
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(i) in Hinblick auf M sowie
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(ii) im Hinblick auf N
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für ILP-F EASIBILITY unter Annahme der ETH, wenn man folgende Reduktion von 3-SAT
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auf ILP-F EASIBILITY verwendet?
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für ILP-FEASIBILITY unter Annahme der ETH, wenn man folgende Reduktion von 3-SAT
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auf ILP-FEASIBILITY verwendet?
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Sei φ eine 3-SAT Instanz mit m Klauseln (Ci )i∈m und n Variablen. Analog zu linearen Glei-
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chungssystemen (Ax = b), die aus M Gleichungen bestehen, haben wir bei Ax ≤ b einen
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Satz von M linearen Ungleichungen. Wir konstruieren diese wie folgt: Wir nutzen N := 2n
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@@ -850,7 +850,7 @@ Klausur »Analyse von Algorithmen und Komplexität (Komplexitätsteil)«
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chung − ∑ℓ∈Ci xℓ ≤ −1. Weiter erzeugen wir für jede SAT-Variable v zwei Ungleichungen:
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xv +xv̄ ≤ 1 und −xv −xv̄ ≤ −1. Durch das Eintragen der entsprechenden Koeffizienten in eine
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erweiterte Koeffizientenmatrix (bestehend aus Matrix A und rechter Seite b) erhalten wir die
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ILP-F EASIBILITY Instanz.
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ILP-FEASIBILITY Instanz.
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