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benchmarks/sortierverfahren/skript.txt

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+Kapitel 1: Grundbegriffe des Sortierens
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+Ein Sortierverfahren ordnet eine Folge von n Elementen nach einem Ordnungskriterium, meist aufsteigend nach einem Schlüssel. Ein Verfahren heißt stabil, wenn Elemente mit gleichem Schlüssel ihre ursprüngliche Reihenfolge behalten. Ein Verfahren arbeitet in-place, wenn es neben der Eingabefolge nur konstant viel zusätzlichen Speicher benötigt. Die Laufzeit wird in Vergleichen und Vertauschungen gemessen; die untere Schranke für vergleichsbasierte Verfahren liegt bei n log n Vergleichen im schlechtesten Fall.
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+Kapitel 2: Bubblesort
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+Bubblesort durchläuft die Folge wiederholt von links nach rechts und vertauscht benachbarte Elemente, wenn sie in falscher Reihenfolge stehen. Nach dem ersten Durchlauf steht das größte Element sicher am rechten Ende; nach k Durchläufen stehen die k größten Elemente an ihren endgültigen Positionen. Das Verfahren endet, wenn ein Durchlauf ohne Vertauschung bleibt. Bubblesort ist stabil und arbeitet in-place. Die Laufzeit beträgt im schlechtesten und mittleren Fall Theta(n Quadrat) Vergleiche; im besten Fall (bereits sortierte Folge) genügt ein Durchlauf mit n minus 1 Vergleichen, sofern die Abbruchbedingung implementiert ist.
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+Kapitel 3: Insertionsort
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+Insertionsort baut den sortierten Bereich am linken Rand schrittweise auf: Das jeweils nächste Element wird von rechts nach links durch Vergleiche an seine Einfügeposition geschoben. Insertionsort ist stabil, arbeitet in-place und benötigt im schlechtesten Fall n mal (n minus 1) durch 2 Vergleiche. Auf fast sortierten Folgen ist Insertionsort ausgesprochen schnell: Die Laufzeit ist linear in der Zahl der Fehlstellungen (Inversionen). Deshalb wird Insertionsort in der Praxis als Basisfall in hybriden Verfahren eingesetzt, etwa für Teilfolgen unter etwa 16 Elementen.
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+Kapitel 4: Mergesort
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+Mergesort teilt die Folge in zwei Hälften, sortiert beide rekursiv und mischt die sortierten Hälften in linearer Zeit zusammen (Merge-Schritt). Der Merge-Schritt vergleicht die jeweils vordersten Elemente beider Hälften und übernimmt das kleinere. Mergesort ist stabil, benötigt aber ein Hilfsarray der Größe n und arbeitet damit nicht in-place. Die Laufzeit beträgt in allen Fällen Theta(n log n). Mergesort ist das Standardverfahren für externes Sortieren, weil es sequentiell auf Datenströmen arbeiten kann.
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+Kapitel 5: Quicksort
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+Quicksort wählt ein Pivot-Element, partitioniert die Folge in Elemente kleiner und größer als das Pivot und sortiert beide Teile rekursiv. Die Partitionierung nach Lomuto verwendet das letzte Element als Pivot und einen Lauffinger; die Partitionierung nach Hoare arbeitet mit zwei gegenläufigen Zeigern und weniger Vertauschungen. Quicksort ist nicht stabil. Die mittlere Laufzeit beträgt Theta(n log n) mit kleiner Konstante; der schlechteste Fall Theta(n Quadrat) tritt bei ungünstiger Pivot-Wahl auf, etwa beim ersten Element auf sortierter Eingabe. Randomisierte Pivot-Wahl oder Median-aus-drei machen den schlechten Fall unwahrscheinlich.
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+Kapitel 6: Heapsort
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+Heapsort baut aus der Folge einen Max-Heap: einen binären Baum in Array-Darstellung, bei dem jeder Knoten mindestens so groß ist wie seine Kinder. Der Aufbau gelingt in linearer Zeit durch absinken lassen (sift-down) von der Mitte an rückwärts. Danach wird wiederholt die Wurzel (das Maximum) mit dem letzten Heap-Element getauscht, der Heap um eins verkürzt und die neue Wurzel abgesenkt. Heapsort arbeitet in-place und garantiert Theta(n log n) im schlechtesten Fall, ist aber nicht stabil und hat schlechtere Cache-Lokalität als Quicksort.

benchmarks/sortierverfahren/uebungen.txt

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+Übungsblatt Sortierverfahren
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+Aufgabe 1: Sortieren Sie die Folge 5, 2, 8, 1, 9 mit Bubblesort. Notieren Sie nach jedem Durchlauf den Zustand der Folge und die Zahl der Vertauschungen. Nach Durchlauf 1: 2, 5, 1, 8, 9 (drei Vertauschungen). Nach Durchlauf 2: 2, 1, 5, 8, 9 (eine Vertauschung). Nach Durchlauf 3: 1, 2, 5, 8, 9 (eine Vertauschung). Durchlauf 4 bleibt ohne Vertauschung, das Verfahren endet.
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+Aufgabe 2: Zeigen Sie, dass Insertionsort auf einer Folge mit k Inversionen höchstens n minus 1 plus k Vergleiche benötigt. Hinweis: Jeder Vergleich, der zu einer Verschiebung führt, beseitigt genau eine Inversion.
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+Aufgabe 3: Führen Sie den Merge-Schritt für die sortierten Hälften 1, 4, 7 und 2, 3, 9 durch. Ergebnisfolge: 1, 2, 3, 4, 7, 9 mit fünf Vergleichen.
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+Aufgabe 4: Geben Sie für Quicksort mit Lomuto-Partitionierung und letztem Element als Pivot eine Eingabe der Länge 5 an, die den schlechtesten Fall erzeugt. Die bereits sortierte Folge 1, 2, 3, 4, 5 erzeugt Partitionen der Größen 4, 3, 2, 1 und damit quadratische Laufzeit.
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+Aufgabe 5: Bauen Sie aus der Folge 3, 7, 1, 9, 4 einen Max-Heap in Array-Darstellung. Ergebnis nach dem Heap-Aufbau: 9, 7, 1, 3, 4. Begründen Sie, warum der Aufbau von der Mitte an rückwärts in linearer Zeit gelingt.
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+Aufgabe 6: Welche der Verfahren Bubblesort, Insertionsort, Mergesort, Quicksort, Heapsort sind stabil? Stabil sind Bubblesort, Insertionsort und Mergesort; Quicksort und Heapsort sind nicht stabil.