# Frage-Muster für Lern-Prüfung: aak --- ## BAUSTEIN: CliqueAndIndependentSet-Problem ### Subbaustein: Clique: Knotenmenge, in der je zwei Knoten durch eine Kante verbunden sind **Muster:** Wann ist eine Knotenmenge C ⊆ V eine Clique in einem Graphen G = (V, E) und welche Bedingung müssen alle Knotenpaare einer Clique erfüllen? ### Subbaustein: Independent Set: Knotenmenge ohne Kanten zwischen je zwei Knoten **Muster:** Was ist die formale Definition eines Independent Set in einem Graphen G = (V, E) und welche Bedingung muss für je zwei Knoten eines Independent Set gelten? ### Subbaustein: Komplementgraph: Independent Set in G ist Clique in G̅ **Muster:** Welche Beziehung besteht zwischen einem Independent Set in G und einer Clique in G̅, warum sind die Probleme gegenseitig in Polynomialzeit aufeinander reduzierbar, und was bleibt bei der Bildung des Komplementgraphen gleich bzw. ändert sich? ### Subbaustein: K-CLIQUE ⪯ K-INDEPENDENT-SET mittels Komplementgraph **Muster:** Wie transformiert man eine Instanz (G, k) von CLIQUE in eine Instanz von INDEPENDENT-SET, und bleibt die Größe k bei der Reduktion erhalten? ### Subbaustein: NP-vollständig via gegenseitige Reduktion über Komplementgraph **Muster:** Wie folgt aus Korollar 6.18 die NP-Vollständigkeit von Independent Set, und welche untere Schranke für die Laufzeit von Algorithmen für Independent Set folgt aus der ETH? ### Subbaustein: Existenz von IS bzw. CLIQUE der Größe k ist NP-vollständig **Muster:** Durch welche Polynomialzeitreduktion lässt sich zeigen, dass Independent Set NP-schwer ist, und wie wird in Satz 6.26 die NP-Schwere von k-Clique bewiesen? ### Subbaustein: Beide Probleme sind in NP (Verifizierer existiert) **Muster:** Welche Eigenschaft müssen Zertifikat und Verifizierer für die Probleme k-Clique und k-Independent-Set erfüllen? ### Subbaustein: Konsequenz: P = NP falls eines in P **Muster:** Welche fundamentale Konsequenz ergibt sich aus Satz 6.16, wenn ein NP-vollständiges Problem in P liegt? ### Subbaustein: Formale Sprachen: CLIQUE und INDEPENDENT-SET **Muster:** Wie sind die formalen Sprachen CLIQUE und INDEPENDENT-SET über dem Alphabet Σ = {0, 1} kodiert und welche Struktur haben sie? ### Subbaustein: Eingabe/Ausgabe von k-Clique und k-Independent-Set **Muster:** Was ist die Eingabe und was die Ausgabe bei den Entscheidungsproblemen k-Clique und k-Independent-Set? --- ## BAUSTEIN: Reduktion CLIQUE → CLIQUE-NOMEMBER ### Subbaustein: Füge isolierten Knoten v zu G hinzu: G' = G ∪ {v} **Muster:** Wie wird bei der Reduktion von CLIQUE auf CLIQUE-NOMEMBER der neue Graph G' konstruiert, und welche Elemente werden gegenüber der ursprünglichen Instanz verändert? ### Subbaustein: v ist in G' in keiner k-Clique (isoliert) **Muster:** Warum kann der hinzugefügte Knoten v in keiner gültigen k-Clique von G' enthalten sein, und welche Eigenschaft hat der Knoten v in der konstruierten Instanz (G', v, k)? ### Subbaustein: G hat k-Clique ⟺ G' hat (k+1)-Clique mit v **Muster:** Wie hängt eine k-Clique in G mit einer k-Clique in G' zusammen, und warum bleibt die Cliquengröße k bei der Reduktion unverändert? ### Subbaustein: Polynomielle Transformation **Muster:** Warum ist die beschriebene Reduktion von CLIQUE auf CLIQUE-NOMEMBER in polynomieller Zeit berechenbar? ### Subbaustein: CLIQUE: Eingabe Graph G, Frage: existiert K-clique? **Muster:** Was ist die Eingabe und was ist die Frage beim Entscheidungsproblem CLIQUE? ### Subbaustein: CLIQUE-NOMEMBER formal definiert **Muster:** Wie ist das Problem CLIQUE-NOMEMBER gemäß Skript 6.50 formal definiert? ### Subbaustein: Reduktion beweist CLIQUE-NOMEMBER ∈ NP-vollständig **Muster:** Welche drei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit CLIQUE-NOMEMBER als NP-vollständig gilt? --- ## BAUSTEIN: Independent Set ### Subbaustein: Independent Set S⊆V: keine Kante zwischen je zwei Knoten in S **Muster:** Welche Bedingung muss für je zwei Knoten eines Independent Set gelten und was bedeutet es, dass die Knoten eines Independent Set paarweise nicht adjazent sind? ### Subbaustein: Komplementär zur Clique **Muster:** In welchem Graphen entspricht ein Independent Set einer Clique und wie hängt ein Independent Set in G mit einer Clique im Komplementgraphen G' zusammen? ### Subbaustein: NP-vollständiges Problem **Muster:** Welche Komplexitätsklasse enthält Independent Set und wie wurde dies bewiesen? ### Subbaustein: INDEPENDENT-SET = {(G,k) | G enthält unabhängige Menge der Größe ≥k} **Muster:** Welche Sprache formalisiert das Entscheidungsproblem Independent Set? --- ## BAUSTEIN: Tiefensuche (DFS) für Zykluserkennung ### Subbaustein: Weiß/Grau/Schwarz: Farbcodierung der DFS **Muster:** Welche Farbe hat ein Knoten während er von der DFS bearbeitet wird, welche nach Abschluss, und wann wird ein Knoten in der DFS schwarz gefärbt? ### Subbaustein: Tree Edge (weiß): Kante zu unbesuchtem Knoten **Muster:** Welche Kante wird als Tree Edge bezeichnet? ### Subbaustein: Rückkante (grau → weiß): signalisiert Zyklus **Muster:** Zu einem Knoten welcher Farbe muss eine Kante führen, um einen Zyklus anzuzeigen? ### Subbaustein: DFS-Zykluserkennung in O(V+E) bei adjacency List **Muster:** Warum beträgt die Laufzeit der DFS-Zykluserkennung bei Adjazenzliste Θ(|V|+|E|)? --- ## BAUSTEIN: Turingmaschine für 0^n (Zweierpotenz) ### Subbaustein: Eingabe: n Nullen in unärer Codierung **Muster:** In welcher Codierung wird die Eingabezahl n der TM für 0^n dargestellt? ### Subbaustein: Akzeptiert nur wenn n = 2^k für ein k ≥ 0 **Muster:** Nach welchem Kriterium entscheidet die TM, ob eine Eingabe akzeptiert wird? ### Subbaustein: Phase 1: Markiere jede zweite 0 mit x (alternierend) **Muster:** Wie markiert die TM die Nullen im ersten Schritt? --- ## BAUSTEIN: 3-SAT zu 3-Färbung Reduktion ### Subbaustein: Knotenzahl linear in Variablen und Klauseln **Muster:** Aus welchen Komponenten setzt sich die Knotenmenge V der konstruierten Instanz zusammen? ### Subbaustein: Dreieck erzwingt drei verschiedene Farben für die drei Knoten **Muster:** Warum benötigen die drei Knoten xi, x̄i und vi eines jeden Dreiecks drei verschiedene Farben? --- ## BAUSTEIN: MC-Knapsack ### Subbaustein: Ziel: Maximierung des Gesamtwerts **Muster:** Was ist die Zielfunktion beim Maximum-Cut Knapsack Problem? --- **Gesamt: 28 Frage-Muster**