6.3 KiB
Frage-Muster für Lern-Prüfung: aak
BAUSTEIN: CliqueAndIndependentSet-Problem
Subbaustein: Clique: Knotenmenge, in der je zwei Knoten durch eine Kante verbunden sind
Muster: Wann ist eine Knotenmenge C ⊆ V eine Clique in einem Graphen G = (V, E) und welche Bedingung müssen alle Knotenpaare einer Clique erfüllen?
Subbaustein: Independent Set: Knotenmenge ohne Kanten zwischen je zwei Knoten
Muster: Was ist die formale Definition eines Independent Set in einem Graphen G = (V, E) und welche Bedingung muss für je zwei Knoten eines Independent Set gelten?
Subbaustein: Komplementgraph: Independent Set in G ist Clique in G̅
Muster: Welche Beziehung besteht zwischen einem Independent Set in G und einer Clique in G̅, warum sind die Probleme gegenseitig in Polynomialzeit aufeinander reduzierbar, und was bleibt bei der Bildung des Komplementgraphen gleich bzw. ändert sich?
Subbaustein: K-CLIQUE ⪯ K-INDEPENDENT-SET mittels Komplementgraph
Muster: Wie transformiert man eine Instanz (G, k) von CLIQUE in eine Instanz von INDEPENDENT-SET, und bleibt die Größe k bei der Reduktion erhalten?
Subbaustein: NP-vollständig via gegenseitige Reduktion über Komplementgraph
Muster: Wie folgt aus Korollar 6.18 die NP-Vollständigkeit von Independent Set, und welche untere Schranke für die Laufzeit von Algorithmen für Independent Set folgt aus der ETH?
Subbaustein: Existenz von IS bzw. CLIQUE der Größe k ist NP-vollständig
Muster: Durch welche Polynomialzeitreduktion lässt sich zeigen, dass Independent Set NP-schwer ist, und wie wird in Satz 6.26 die NP-Schwere von k-Clique bewiesen?
Subbaustein: Beide Probleme sind in NP (Verifizierer existiert)
Muster: Welche Eigenschaft müssen Zertifikat und Verifizierer für die Probleme k-Clique und k-Independent-Set erfüllen?
Subbaustein: Konsequenz: P = NP falls eines in P
Muster: Welche fundamentale Konsequenz ergibt sich aus Satz 6.16, wenn ein NP-vollständiges Problem in P liegt?
Subbaustein: Formale Sprachen: CLIQUE und INDEPENDENT-SET
Muster: Wie sind die formalen Sprachen CLIQUE und INDEPENDENT-SET über dem Alphabet Σ = {0, 1} kodiert und welche Struktur haben sie?
Subbaustein: Eingabe/Ausgabe von k-Clique und k-Independent-Set
Muster: Was ist die Eingabe und was die Ausgabe bei den Entscheidungsproblemen k-Clique und k-Independent-Set?
BAUSTEIN: Reduktion CLIQUE → CLIQUE-NOMEMBER
Subbaustein: Füge isolierten Knoten v zu G hinzu: G' = G ∪ {v}
Muster: Wie wird bei der Reduktion von CLIQUE auf CLIQUE-NOMEMBER der neue Graph G' konstruiert, und welche Elemente werden gegenüber der ursprünglichen Instanz verändert?
Subbaustein: v ist in G' in keiner k-Clique (isoliert)
Muster: Warum kann der hinzugefügte Knoten v in keiner gültigen k-Clique von G' enthalten sein, und welche Eigenschaft hat der Knoten v in der konstruierten Instanz (G', v, k)?
Subbaustein: G hat k-Clique ⟺ G' hat (k+1)-Clique mit v
Muster: Wie hängt eine k-Clique in G mit einer k-Clique in G' zusammen, und warum bleibt die Cliquengröße k bei der Reduktion unverändert?
Subbaustein: Polynomielle Transformation
Muster: Warum ist die beschriebene Reduktion von CLIQUE auf CLIQUE-NOMEMBER in polynomieller Zeit berechenbar?
Subbaustein: CLIQUE: Eingabe Graph G, Frage: existiert K-clique?
Muster: Was ist die Eingabe und was ist die Frage beim Entscheidungsproblem CLIQUE?
Subbaustein: CLIQUE-NOMEMBER formal definiert
Muster: Wie ist das Problem CLIQUE-NOMEMBER gemäß Skript 6.50 formal definiert?
Subbaustein: Reduktion beweist CLIQUE-NOMEMBER ∈ NP-vollständig
Muster: Welche drei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit CLIQUE-NOMEMBER als NP-vollständig gilt?
BAUSTEIN: Independent Set
Subbaustein: Independent Set S⊆V: keine Kante zwischen je zwei Knoten in S
Muster: Welche Bedingung muss für je zwei Knoten eines Independent Set gelten und was bedeutet es, dass die Knoten eines Independent Set paarweise nicht adjazent sind?
Subbaustein: Komplementär zur Clique
Muster: In welchem Graphen entspricht ein Independent Set einer Clique und wie hängt ein Independent Set in G mit einer Clique im Komplementgraphen G' zusammen?
Subbaustein: NP-vollständiges Problem
Muster: Welche Komplexitätsklasse enthält Independent Set und wie wurde dies bewiesen?
Subbaustein: INDEPENDENT-SET = {(G,k) | G enthält unabhängige Menge der Größe ≥k}
Muster: Welche Sprache formalisiert das Entscheidungsproblem Independent Set?
BAUSTEIN: Tiefensuche (DFS) für Zykluserkennung
Subbaustein: Weiß/Grau/Schwarz: Farbcodierung der DFS
Muster: Welche Farbe hat ein Knoten während er von der DFS bearbeitet wird, welche nach Abschluss, und wann wird ein Knoten in der DFS schwarz gefärbt?
Subbaustein: Tree Edge (weiß): Kante zu unbesuchtem Knoten
Muster: Welche Kante wird als Tree Edge bezeichnet?
Subbaustein: Rückkante (grau → weiß): signalisiert Zyklus
Muster: Zu einem Knoten welcher Farbe muss eine Kante führen, um einen Zyklus anzuzeigen?
Subbaustein: DFS-Zykluserkennung in O(V+E) bei adjacency List
Muster: Warum beträgt die Laufzeit der DFS-Zykluserkennung bei Adjazenzliste Θ(|V|+|E|)?
BAUSTEIN: Turingmaschine für 0^n (Zweierpotenz)
Subbaustein: Eingabe: n Nullen in unärer Codierung
Muster: In welcher Codierung wird die Eingabezahl n der TM für 0^n dargestellt?
Subbaustein: Akzeptiert nur wenn n = 2^k für ein k ≥ 0
Muster: Nach welchem Kriterium entscheidet die TM, ob eine Eingabe akzeptiert wird?
Subbaustein: Phase 1: Markiere jede zweite 0 mit x (alternierend)
Muster: Wie markiert die TM die Nullen im ersten Schritt?
BAUSTEIN: 3-SAT zu 3-Färbung Reduktion
Subbaustein: Knotenzahl linear in Variablen und Klauseln
Muster: Aus welchen Komponenten setzt sich die Knotenmenge V der konstruierten Instanz zusammen?
Subbaustein: Dreieck erzwingt drei verschiedene Farben für die drei Knoten
Muster: Warum benötigen die drei Knoten xi, x̄i und vi eines jeden Dreiecks drei verschiedene Farben?
BAUSTEIN: MC-Knapsack
Subbaustein: Ziel: Maximierung des Gesamtwerts
Muster: Was ist die Zielfunktion beim Maximum-Cut Knapsack Problem?
Gesamt: 28 Frage-Muster