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hausaufgaben/meine_loeasung/hausaufgabe_11_loesung.tex

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+\documentclass[12pt]{article}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[ngerman,provide=*]{babel}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
+
+\title{Hausaufgabe 11}
+\author{Marek Lenczewski \\ Matrikelnummer: 1025252}
+\date{29.\ Juni 2026}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section*{Hausaufgabe 11.1}
+
+\subsection*{Teil 1: $\Delta$-Cover ist in NP}
+
+Eingabe: Graph $G = (V, E)$, Zahl $k$ und Zertifikat $C_\Delta \subseteq V$. \\
+
+Der Verifizierer arbeitet wie folgt:
+
+\begin{itemize}
+  \item Prüfe ob $|C_\Delta| \le k$, lehne ab falls $|C_\Delta| > k$.
+  \item Prüfe für jedes Knotentripel $\{a, b, c\} \subseteq V$, ob es ein
+        Dreieck bildet (also ob $\{a,b\}, \{b,c\}, \{a,c\} \in E$).
+  \item Lehne ab, falls ein solches Dreieck kein $a$, $b$ oder $c$ in
+        $C_\Delta$ hat.
+  \item Sonst akzeptiere.
+\end{itemize}
+
+Existiert eine Dreiecksüberdeckung $C_\Delta$ mit $|C_\Delta| \le k$, dann gibt
+es ein Zertifikat dafür. Dieses wird vom Verifizierer akzeptiert und sonst
+abgelehnt. \\
+
+Die Größenprüfung läuft in $O(|V|)$ und das Prüfen aller Tripel in $O(|V|^3)$,
+somit in poly. Zeit. Also gilt $\Delta\text{-}COVER \in NP$.
+
+\subsection*{Teil 2: $\Delta$-Cover ist NP-schwer}
+
+Zeige, dass $\Delta\text{-}COVER$ NP-schwer ist durch die Reduktion: \\
+$VERTEXCOVER \le \Delta\text{-}COVER$. \\
+$VERTEXCOVER$ ist bereits als NP-vollständig bekannt. \\
+
+\textbf{Konstruktion}: Sei $G = (V, E)$ und $k$ eine Instanz von $VERTEXCOVER$. \\
+Wir konstruieren daraus eine $\Delta\text{-}COVER$-Instanz $G' = (V', E')$ durch:
+\begin{itemize}
+  \item Für jede Kante $e = \{u, v\} \in E$ füge einen neuen Knoten $w_e$ hinzu.
+  \item $V' = V \cup \{ w_e \mid e \in E \}$
+  \item $E' = E \cup \{ \{u, w_e\}, \{v, w_e\} \mid e = \{u,v\} \in E \}$
+  \item $k' = k$
+\end{itemize}
+So wird aus jeder Kante $e = \{u, v\}$ ein Dreieck $\{u, v, w_e\}$. \\
+
+\textbf{Beweis VertexCover nach $\Delta$-Cover}:
+
+\begin{itemize}
+  \item Sei $C$ ein VertexCover von $G$ mit $|C| \le k$.
+  \item Zu zeigen sei, dass $C$ auch eine $\Delta$-Cover für $G'$ mit
+        $|C| \le k'$ ist.
+  \item Jedes Dreieck in $G'$ hat die Form $\{u, v, w_e\}$ für eine Kante
+        $e = \{u, v\} \in E$.
+  \item Da $C$ ein VertexCover ist, gilt $u \in C$ oder $v \in C$.
+  \item Somit hat jedes Dreieck mindestens einen Knoten in $C$.
+  \item Also ist $C$ eine $\Delta$-Cover für $G'$ mit $|C| \le k'$.
+\end{itemize}
+
+\textbf{Beweis $\Delta$-Cover nach VertexCover}:
+
+\begin{itemize}
+  \item Sei $C_\Delta$ eine $\Delta$-Cover für $G'$ mit $|C_\Delta| \le k'$.
+  \item Jede Kante $e = \{u, v\} \in E$ bildet durch $\{u, v, w_e\}$ ein Dreieck
+        in $G'$.
+  \item Also gilt $u, v$ oder $w_e \in C_\Delta$ für alle Kanten $e \in E$.
+  \item Falls $w_e \in C_\Delta$, dann kann man $w_e$ durch $u$ ersetzen, ohne
+        die Eigenschaft von $\Delta$-Cover zu verletzen.
+  \item Denn $w_e$ liegt in genau einem Dreieck $\{u, v, w_e\}$, das auch durch
+        $u$ gedeckt wird.
+  \item So entsteht eine Menge $C$ mit $|C| \le |C_\Delta| \le k$, die nur noch
+        Knoten aus $V$ enthält.
+  \item Für jede Kante $e = \{u, v\} \in E$ gilt nun $u \in C$ oder $v \in C$.
+  \item Also ist $C$ ein VertexCover für $G$ mit $|C| \le k$.
+\end{itemize}
+
+\textbf{Laufzeit}: Pro Kante werden ein Knoten und zwei Kanten hinzugefügt
+$O(|E|)$, also bleibt die Transformation polynomiell. \\
+
+
+Da $\Delta\text{-}COVER \in NP$ und NP-schwer ist, folgt dass
+$\Delta\text{-}COVER$ NP-vollständig ist. \hfill $\square$
+
+\newpage
+
+\section*{Hausaufgabe 11.2}
+
+\subsection*{$HALT_{TM}$ ist NP-schwer}
+
+Zeige, dass $HALT_{TM}$ NP-schwer ist durch die Reduktion: \\
+$SAT \le HALT_{TM}$. \\
+$SAT$ ist bereits als NP-vollständig bekannt, also insbesondere NP-schwer. \\
+
+\textbf{Konstruktion}: Sei $\varphi$ eine $SAT$-Instanz mit den Variablen
+$x_1, \dots, x_n$. \\
+Wir konstruieren daraus eine $HALT_{TM}$-Instanz $\langle M, w \rangle$ durch:
+\begin{itemize}
+  \item $w = \langle \varphi \rangle$, also die Kodierung der Formel $\varphi$.
+  \item $M$ ist eine feste DTM , die auf Eingabe
+        $\langle \varphi \rangle$ wie folgt arbeitet:
+  \begin{enumerate}
+    \item Lese $\varphi$ und probiere nacheinander alle $2^n$ Belegungen
+          $\beta$ der Variablen $x_1, \dots, x_n$.
+    \item Falls eine Belegung $\beta$ die Formel $\varphi$ erfüllt, halte.
+    \item Falls alle $2^n$ Belegungen geprüft wurden und keine $\varphi$
+          erfüllt, gehe in eine Endlosschleife.
+  \end{enumerate}
+\end{itemize}
+Die Abbildung $f(\varphi) = \langle M, w \rangle$ kodiert nur $\varphi$; die
+Maschine $M$ ist konstant. Somit ist $f$ in poly. Zeit berechenbar. \\
+
+\textbf{Beweis SAT nach $HALT_{TM}$}:
+
+\begin{itemize}
+  \item Sei $\varphi \in SAT$.
+  \item Dann existiert eine erfüllende Belegung $\beta$.
+  \item $M$ probiert alle Belegungen und findet $\beta$, also hält $M$ auf $w$.
+  \item Damit gilt $\langle M, w \rangle \in HALT_{TM}$.
+\end{itemize}
+
+\textbf{Beweis $HALT_{TM}$ nach SAT}:
+
+\begin{itemize}
+  \item Sei $\langle M, w \rangle \in HALT_{TM}$, also hält $M$ auf $w$.
+  \item $M$ hält nur, wenn es eine erfüllende Belegung $\beta$ findet.
+  \item Denn ohne erfüllende Belegung geht $M$ in die Endlosschleife.
+  \item Also existiert eine erfüllende Belegung für $\varphi$.
+  \item Damit gilt $\varphi \in SAT$.
+\end{itemize}
+
+\textbf{Laufzeit}: Es wird nur $\varphi$ kodiert und die feste Maschine $M$
+ausgegeben $O(|\varphi|)$, also bleibt die Transformation polynomiell. \\
+
+
+Da $SAT$ NP-schwer ist und $SAT \le HALT_{TM}$ gilt, folgt dass $HALT_{TM}$
+NP-schwer ist. \hfill $\square$
+
+\end{document}