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hausaufgaben/meine_loeasung/hausaufgabe_9_loesung.tex

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+\documentclass[12pt]{article}
+
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage[T1]{fontenc}
+\usepackage[ngerman,provide=*]{babel}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
+
+\title{Hausaufgabe 9}
+\author{Marek Lenczewski \\ Matrikelnummer: 1025252}
+\date{15.\ Juni 2026}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section*{Hausaufgabe 9.1}
+
+\subsection*{Teil 1}
+
+Ein minimales Vertex Cover ist $C = \{2, 7, 5, 4, 1\}$.
+
+\subsection*{Teil 2}
+
+Der Algorithmus arbeitet wie folgt:
+
+\begin{itemize}
+  \item Finde nichtdeterministisch die Knoten für $C$. 
+  \item Prüfe ob $|C| \le k$, lehne ab falls $|C| > k$.
+  \item Prüfe für jede Kante $\{u, v\} \in E$ ob $v \in C$ oder $u \in C$.
+  \item Lehne ab, falls für eine Kante $u, v \notin C$.
+  \item Sonst akzeptiere.
+\end{itemize}
+
+Existiert ein Vertex Cover kleiner-gleich $k$, 
+dann gibt es auch eine Knotenmenge $|C| \le k$ dafür. 
+Diese wird vom Algorithmus gefunden und akzeptiert. 
+Falls es keine solche Knotenmenge gibt, dann lehnt er ab. \\
+
+Auswahl der Knoten und Prüfung der Kanten läuft in $O(|V| + |E|)$, somit in poly. Zeit.
+Somit ist das eine poly. NDTM.
+Also gilt $VERTEXCOVER \in NP$. 
+
+\newpage
+
+\section*{Hausaufgabe 9.2}
+
+\subsection*{Teil 1}
+
+Ein minimales Feedback Vertex Set ist $X = \{1, 5\}$.
+
+\subsection*{Teil 2}
+
+Eingabe: Graph $G=(V,E)$ und Zertifikat $X \subseteq V$. \\
+
+Der Verifizierer arbeitet wie folgt:
+
+\begin{itemize}
+  \item Prüfe ob $|X| \le k$, lehne ab falls $|X| > k$. 
+  \item Konstruiere $H=(V \setminus X,E)$. 
+  \item Starte eine Tiefensuche auf $H$ und markiere bereits besuchte Knoten grau.
+  \item Beim Backtracking markiere Knoten schwarz. 
+  \item Wird ein grauer Knoten aufgerufen, dann lehne ab. 
+  \item Sonst akzeptiere.
+
+\end{itemize}
+
+Existiert ein Feedback Vertex Set kleiner-gleich $k$, 
+dann gibt es ein Zertifikat $X$ mit $|X| \le k$ dafür. 
+Die Knotenmenge wird vom Verifizierer akzeptiert und sonst abgelehnt. \\ 
+
+Prüfung von $X$, Konstruktion von $H$ und die Tiefensuche laufen in $O(|V| + |E|)$. 
+Somit ist das ein poly. Verifizierer.
+Also gilt $FEEDBACKVERTEXSET \in NP$. 
+
+\end{document}