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lernmaterial/probeklausur1.tex
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@@ -0,0 +1,244 @@
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\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage{lmodern}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[margin=2.5cm]{geometry}
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\usepackage{amsmath,amssymb}
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\usepackage{tikz}
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\usepackage{xcolor}
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\setlength{\parskip}{0.4em}
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\setlength{\parindent}{0pt}
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\emergencystretch=1.5em
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% ---- Makros ----
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\newcommand{\problem}[1]{\textsc{#1}}
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\newcommand{\redp}{\le_p}
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\newcommand{\NP}{\textsf{NP}}
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\newcommand{\true}{\textsf{wahr}}
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\newcommand{\false}{\textsf{falsch}}
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\tikzset{knoten/.style={circle,draw,thick,minimum size=6.5mm,inner sep=1pt}}
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% ---- Pseudocode-/Grafik-Box (ersetzt framed's shaded) ----
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\definecolor{boxbg}{gray}{0.94}
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\newsavebox{\shadedbox}
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\newenvironment{shaded}
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{\par\smallskip\noindent\begin{lrbox}{\shadedbox}\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-2\fboxsep\relax}}
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{\end{minipage}\end{lrbox}\colorbox{boxbg}{\usebox{\shadedbox}}\par\smallskip}
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% ---- Aufgabenkopf ----
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\newcommand{\aufgabe}[2]{\medskip\noindent{\large\textbf{Aufgabe #1}}\hfill\textbf{(#2)}\par\smallskip
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\noindent\rule{\linewidth}{0.4pt}\par\medskip}
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}
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% ============================= KOPF =============================
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\begin{minipage}[t]{0.16\textwidth}
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||||
\raisebox{-1.0cm}{\fbox{\parbox[t]{2.4cm}{\centering\scriptsize CAU-Siegel\\[2pt]\textit{(rundes Universit\"ats\-siegel)}}}}
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||||
\end{minipage}\hfill
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||||
\begin{minipage}[t]{0.82\textwidth}
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||||
\textbf{\large CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSIT\"AT ZU KIEL}\\[2pt]
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||||
Institut f\"ur Informatik, Arbeitsgruppe Algorithmen und Komplexit\"at\\
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||||
Prof.\ Dr.\ K.\ Jansen\\[6pt]
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||||
\hfill \"Ubungsmaterial zur Klausurvorbereitung
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||||
\end{minipage}
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||||
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||||
\vspace{6pt}
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||||
\begin{center}
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||||
\textbf{\large Probeklausur 1}\\[4pt]
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||||
\textbf{\large Analyse von Algorithmen und Komplexit\"at, SS 2026}
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||||
\end{center}
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||||
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||||
\medskip
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||||
\begin{center}
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||||
Name:\ \underline{\hspace{3.5cm}}\qquad Matrikel-Nr.:\ \underline{\hspace{3.5cm}}
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||||
\end{center}
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\vspace{0.6cm}
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\noindent\textit{Hinweise:}
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\begin{itemize}
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\item Bearbeiten Sie \textit{alle} Aufgaben.
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\item Sie haben 10 Minuten Einlesezeit. Danach haben Sie \textbf{120 Minuten} Zeit f\"ur die Klausurbearbeitung.
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\item Erlaubte Hilfsmittel: Ein doppelseitig handschriftlich beschriebenes Blatt Papier DIN A4, (bunte) Stifte (kein Rot, kein Gr\"un, kein Bleistift).
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||||
\item Die Klausur besteht aus \textbf{5 Aufgaben}, die alle \textbf{10 Punkte} wert sind.
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||||
\item Zum Bestehen m\"ussen mindestens \textbf{18 Punkte} erreicht werden.
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||||
\item Aufgabe 5 gibt zus\"atzlich \textbf{10 Bonuspunkte}. Insgesamt k\"onnen also \textbf{50 Punkte plus 10 Bonuspunkte} erreicht werden.
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\end{itemize}
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% ============================= A1 =============================
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\newpage
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||||
\aufgabe{1 \quad ANWENDUNG -- CHRISTOFIDES' ALGORITHMUS}{6 + 4 Punkte}
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Gegeben sei folgender vollst\"andiger, symmetrischer Graph $G = (V,E)$ auf den
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Knoten $\{a,b,c,d\}$. Die Dreiecksungleichung gilt f\"ur jede Kante.
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\begin{center}
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\begin{tikzpicture}
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\node[knoten] (a) at (0,2.4) {$a$};
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||||
\node[knoten] (b) at (2.4,2.4) {$b$};
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||||
\node[knoten] (c) at (0,0) {$c$};
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||||
\node[knoten] (d) at (2.4,0) {$d$};
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||||
\draw (a) -- (b) node[fill=white,inner sep=1pt,font=\small,midway] {1};
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||||
\draw (a) -- (c) node[fill=white,inner sep=1pt,font=\small,midway] {2};
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||||
\draw (b) -- (d) node[fill=white,inner sep=1pt,font=\small,midway] {4};
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||||
\draw (c) -- (d) node[fill=white,inner sep=1pt,font=\small,midway] {4};
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||||
\draw (a) -- (d) node[fill=white,inner sep=1pt,font=\small,pos=0.3] {3};
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||||
\draw (b) -- (c) node[fill=white,inner sep=1pt,font=\small,pos=0.3] {3};
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{center}
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||||
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||||
\begin{itemize}
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\item[a)] Wenden Sie den Algorithmus von Christofides ($\Delta$TSP2) auf den Graphen
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$G$ mit Startknoten $a$ an. Geben Sie dabei alle Graphen an, die in
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Zwischenschritten entstehen. Erw\"ahnen Sie ebenfalls Schritte, die bei dieser
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Anwendung zu keiner \"Anderung f\"uhren, die der Algorithmus aber \"uberpr\"ufen
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muss. Geben Sie au{\ss}erdem die L\"ange der berechneten Rundreise an.
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\item[b)] Was berechnet der Algorithmus von Christofides? F\"ur die Korrektheit
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werden zwei zus\"atzliche Eigenschaften f\"ur die Eingabe des
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Travelling-Salesperson-Problems ben\"otigt. Nennen Sie die beiden Eigenschaften
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und geben Sie jeweils eine Eingabe an, welche die Eigenschaft \emph{nicht}
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erf\"ullt. Geben Sie auch die G\"ute des Algorithmus an.
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\end{itemize}
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% ============================= A2 =============================
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\newpage
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\aufgabe{2 \quad VORLESUNGSBEWEIS -- DEFINITION NP}{2 + 8 Punkte}
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Beweisen Sie folgende Aussage:
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\[ \{L \subseteq \Sigma^* \mid \exists\ \text{polynomieller Verifizierer f\"ur } L\} \subseteq \]
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\[ \{L \subseteq \Sigma^* \mid \exists\ \text{NDTM } M \text{ \"uber } \Gamma \supset \Sigma \text{ und ein Polynom } T, \]
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\[ \text{sodass } M \text{ die Sprache } L \text{ in nicht-deterministischer Zeit } T \text{ akzeptiert}\} \]
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Ausformuliert bedeutet das: Sei $L \subseteq \Sigma^*$ eine Sprache, f\"ur die
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ein polynomieller Verifizierer existiert. Nun m\"ussen Sie folgende Aussage
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beweisen: Es existiert eine NDTM $M$ \"uber einem Alphabet $\Gamma \supset
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\Sigma$ und ein Polynom $T$, sodass $L$ von $M$ in nicht-deterministischer Zeit
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$T$ entschieden wird.
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\begin{itemize}
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\item[a)] Geben Sie dazu zun\"achst f\"ur die Sprache $L$, die durch folgenden
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polynomiellen Verifizierer $V$ akzeptiert wird, eine NDTM $M$ an, die in analoger
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Weise arbeitet. Der Verifizierer $V$ erh\"alt als Eingabe einen ungerichteten
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Graphen $G = (V,E)$ und eine Zahl $k \in \mathbb{N}_0$ sowie als Zertifikat eine
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Knotenmenge $C \subseteq V$.
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\begin{shaded}
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\ttfamily\small
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$V(G = (V,E),\ k;\ \text{Zertifikat } C \subseteq V)$\\
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1.\quad Falls $|C| > k$, verwerfe.\\
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2.\quad F\"ur alle $\{u,v\} \in E$: Falls $u \notin C$ und $v \notin C$, verwerfe.\\
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||||
3.\quad Akzeptiere.
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\end{shaded}
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||||
\item[b)] F\"uhren Sie nun einen allgemeing\"ultigen Beweis.
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\end{itemize}
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% ============================= A3 =============================
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\newpage
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\aufgabe{3 \quad NP-VOLLST\"ANDIGKEIT}{10 Punkte}
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Wir betrachten folgendes Problem:
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\textbf{Problem: $k$-CLIQUEMEMBER}\\
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\textbf{Eingabe:} Ein ungerichteter Graph $G = (V,E)$, ein Knoten $v \in V$ sowie
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eine Zahl $k \in \mathbb{N}_{\ge 1}$.\\
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\textbf{Entscheide:} Existiert eine Clique $C \subseteq V$ mit $|C| \ge k$ und
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$v \in C$?
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Zeigen Sie, dass $k$-CLIQUEMEMBER NP-vollst\"andig ist.
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\medskip
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\textit{Hinweis:} \problem{Clique} (Gegeben $(G,k)$: existiert eine Clique
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$C \subseteq V$ mit $|C| \ge k$?) ist bereits als NP-vollst\"andig bekannt.
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% ============================= A4 =============================
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\newpage
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\aufgabe{4 \quad ETH}{1 + 4 + 1 + 4 Punkte}
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\textbf{Problem: VERTEXCOVER}\\
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\textbf{Eingabe:} Ein ungerichteter Graph $G = (V,E)$ und eine Zahl $k$.\\
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\textbf{Entscheide:} Gibt es $S \subseteq V$ mit $|S| \le k$, sodass $v \in S$
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oder $u \in S$ f\"ur jede Kante $\{v,u\} \in E$?
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Betrachten Sie folgende Reduktion von \problem{Clique} auf \problem{VertexCover}.
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F\"ur eine \problem{Clique}-Instanz $(G = (V,E), k)$ bilde die Instanz
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$(G' = (V, E'), k')$ mit
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\[ E' = \{\{v,u\} \mid v,u \in V,\ v \ne u,\ \{v,u\} \notin E\}, \qquad k' = |V| - k. \]
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||||
Damit ist $G'$ der Komplementgraph von $G$.
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\begin{itemize}
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\item[a)] Geben Sie die Anzahl der Knoten $|V'|$ und die Anzahl der Kanten $|E'|$ der
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resultierenden \problem{VertexCover}-Instanz in Abh\"angigkeit von der originalen
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\problem{Clique}-Instanz an.
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\item[b)] Beweisen Sie Laufzeit-Lower-Bounds f\"ur \problem{VertexCover} bez\"uglich
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$|V'|$ und $|E'|$ basierend auf der ETH und der oben beschriebenen Reduktion.\\
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||||
\textit{Hinweis:} Unter Annahme der ETH kann \problem{Clique} weder in
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$2^{o(|V|)} \cdot |I|^{O(1)}$ noch in $2^{o(\sqrt{|E|})} \cdot |I|^{O(1)}$ gel\"ost werden.
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\end{itemize}
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\medskip
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\textbf{Problem: HITTINGSET}\\
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\textbf{Eingabe:} Eine Grundmenge $U$, Teilmengen $F_1,\dots,F_r \subseteq U$ und
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eine Zahl $k$.\\
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\textbf{Entscheide:} Gibt es $H \subseteq U$ mit $|H| \le k$ und $H \cap F_i \ne
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\emptyset$ f\"ur alle $i \in [r]$?
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Betrachten Sie folgende Reduktion von \problem{3-SAT} auf \problem{HittingSet}.
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F\"ur eine 3-SAT-Instanz mit Variablen $x_1,\dots,x_n$ und Klauseln
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$C_1,\dots,C_m$ setze $U = \{x_i, \bar x_i \mid i \in [n]\}$. F\"ur jedes
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$i \in [n]$ nimm die \emph{Paar-Menge} $\{x_i, \bar x_i\} \subseteq U$ hinzu, und
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f\"ur jede Klausel $C_j$ die \emph{Klausel-Menge} $C_j \subseteq U$ (die Menge
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ihrer Literale). Setze $k = n$.
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\begin{itemize}
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\item[c)] Geben Sie die Gr\"o{\ss}e der Grundmenge $|U|$ und die Anzahl der Teilmengen
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$r$ der resultierenden \problem{HittingSet}-Instanz in Abh\"angigkeit von der
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originalen 3-SAT-Instanz an.
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\item[d)] Beweisen Sie Laufzeit-Lower-Bounds f\"ur \problem{HittingSet} bez\"uglich
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$|U|$ und $r$ basierend auf der ETH und der oben beschriebenen Reduktion.\\
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\textit{Hinweis:} Unter Annahme der ETH ist \problem{3-SAT} nicht in
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$2^{o(n)} \cdot |I|^{O(1)}$ l\"osbar, mit dem Sparsification-Lemma auch nicht in
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$2^{o(m)} \cdot |I|^{O(1)}$.
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\end{itemize}
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% ============================= A5 =============================
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\newpage
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\aufgabe{5 \quad APPROXIMATIVE ALGORITHMEN -- MAX-3-SAT}{2 + 5 + 3 + (10) Punkte}
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\textbf{Problem: MAX-3-SAT}\\
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\textbf{Eingabe:} Eine Formel $\varphi$ in konjunktiver Normalform mit $m$
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Klauseln, jede Klausel besteht aus (bis zu) drei Literalen.\\
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\textbf{Ausgabe:} Eine Belegung der Variablen, welche die Anzahl $v(\cdot)$ der
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erf\"ullten Klauseln maximiert.
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Betrachten Sie den folgenden Algorithmus:
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\begin{shaded}
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\ttfamily\small
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\textbf{Algorithmus $A(\varphi)$}\\
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1\quad $\beta_0 \leftarrow$ Belegung, die jede Variable auf \false\ setzt\\
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2\quad $\beta_1 \leftarrow$ Belegung, die jede Variable auf \true\ setzt\\
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3\quad Werte $v(\beta_0)$ und $v(\beta_1)$ aus (Anzahl der jeweils erf\"ullten Klauseln)\\
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4\quad \textbf{return} die Belegung mit gr\"o{\ss}erem Wert (bei Gleichstand $\beta_0$)
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\end{shaded}
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\begin{itemize}
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\item[a)] Wenden Sie den Algorithmus $A$ auf folgende Formel mit den Variablen
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$x_1, x_2, x_3$ an:
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\[ \varphi = (x_1 \vee x_2 \vee x_3) \wedge (\neg x_1 \vee \neg x_2 \vee \neg x_3)
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\wedge (x_1 \vee \neg x_2 \vee x_3) \wedge (\neg x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3). \]
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Geben Sie $v(\beta_0)$, $v(\beta_1)$, den Wert der Ausgabe von $A$ sowie den
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Optimalwert $v(\mathrm{OPT}(\varphi))$ an.
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\item[b)] Beweisen Sie, dass der Algorithmus $A$ die G\"ute $2$ hat, also
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$v(A(\varphi)) \ge \tfrac12\,v(\mathrm{OPT}(\varphi))$ f\"ur jede Eingabe
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$\varphi$ gilt.
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\item[c)] Geben Sie eine (scharfe) Instanz an, bei welcher der Algorithmus $A$ genau
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die H\"alfte des Optimums erf\"ullt, also $v(A(\varphi)) = \tfrac12\,
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v(\mathrm{OPT}(\varphi))$ gilt. Begr\"unden Sie Ihre Antwort.
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\item[d)] \textbf{BONUS:} Sei $k \in \mathbb{N}_{\ge 2}$. Wir betrachten
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\problem{MAX-$k$-SAT}, bei dem jede Klausel aus \emph{genau} $k$ Literalen mit
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paarweise verschiedenen Variablen besteht. Welche G\"ute garantiert derselbe
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Algorithmus $A$ f\"ur \problem{MAX-$k$-SAT}? Beweisen Sie diese G\"ute und zeigen
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Sie, dass sie scharf ist.
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\end{itemize}
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||||
\end{document}
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