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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[T1]{fontenc}
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\usepackage[ngerman,provide=*]{babel}
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\usepackage{amsmath}
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\usepackage{amssymb}
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\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry}
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\title{Hausaufgabe 9}
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\author{Marek Lenczewski \\ Matrikelnummer: 1025252}
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\date{15.\ Juni 2026}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section*{Hausaufgabe 9.1}
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\subsection*{Teil 1}
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Ein minimales Vertex Cover ist $C = \{2, 7, 5, 4, 1\}$.
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\subsection*{Teil 2}
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Der Algorithmus arbeitet wie folgt:
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\begin{itemize}
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\item Finde nichtdeterministisch die Knoten für $C$.
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\item Prüfe ob $|C| \le k$, lehne ab falls $|C| > k$.
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\item Prüfe für jede Kante $\{u, v\} \in E$ ob $v \in C$ oder $u \in C$.
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\item Lehne ab, falls für eine Kante $u, v \notin C$.
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\item Sonst akzeptiere.
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\end{itemize}
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Existiert ein Vertex Cover kleiner-gleich $k$,
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dann gibt es auch eine Knotenmenge $|C| \le k$ dafür.
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Diese wird vom Algorithmus gefunden und akzeptiert.
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Falls es keine solche Knotenmenge gibt, dann lehnt er ab. \\
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Auswahl der Knoten und Prüfung der Kanten läuft in $O(|V| + |E|)$, somit in poly. Zeit.
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Somit ist das eine poly. NDTM.
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Also gilt $VERTEXCOVER \in NP$.
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\newpage
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\section*{Hausaufgabe 9.2}
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\subsection*{Teil 1}
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Ein minimales Feedback Vertex Set ist $X = \{1, 5\}$.
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\subsection*{Teil 2}
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Eingabe: Graph $G=(V,E)$ und Zertifikat $X \subseteq V$. \\
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Der Verifizierer arbeitet wie folgt:
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\begin{itemize}
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\item Prüfe ob $|X| \le k$, lehne ab falls $|X| > k$.
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\item Konstruiere $H=(V \setminus X,E)$.
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\item Starte eine Tiefensuche auf $H$ und markiere bereits besuchte Knoten grau.
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\item Beim Backtracking markiere Knoten schwarz.
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\item Wird ein grauer Knoten aufgerufen, dann lehne ab.
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\item Sonst akzeptiere.
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\end{itemize}
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Existiert ein Feedback Vertex Set kleiner-gleich $k$,
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dann gibt es ein Zertifikat $X$ mit $|X| \le k$ dafür.
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Die Knotenmenge wird vom Verifizierer akzeptiert und sonst abgelehnt. \\
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Prüfung von $X$, Konstruktion von $H$ und die Tiefensuche laufen in $O(|V| + |E|)$.
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Somit ist das ein poly. Verifizierer.
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Also gilt $FEEDBACKVERTEXSET \in NP$.
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\end{document}
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