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# Frage-Muster für Lern-Prüfung: aak
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## BAUSTEIN: CliqueAndIndependentSet-Problem
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### Subbaustein: Independent Set: Knotenmenge ohne Kanten zwischen je zwei Knoten
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**Muster:** Was ist die formale Definition eines Independent Set in einem Graphen G = (V, E)?
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### Subbaustein: Komplementgraph (V, E) bildet IS und Clique aufeinander ab
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**Muster:** Wie hängt die Existenz einer Clique in G mit der Existenz eines Independent Set in G' (dem Komplementgraphen) zusammen?
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### Subbaustein: Existenz von Independent Set der Größe k ist NP-vollständig
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**Muster:** Durch welche Polynomialzeitreduktion lässt sich zeigen, dass Independent Set NP-schwer ist?
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### Subbaustein: Existenz von Clique der Größe k ist NP-vollständig
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**Muster:** Wie wird in Satz 6.26 die NP-Schwere von k-Clique bewiesen?
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### Subbaustein: Reduktion k-CLIQUE ⪯ k-INDEPENDENT-SET mittels Komplementgraph
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**Muster:** Wie transformiert man eine Instanz (G, k) von CLIQUE in eine Instanz von INDEPENDENT-SET?
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### Subbaustein: Clique: Knotenmenge, in der je zwei Knoten durch eine Kante verbunden sind
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**Muster:** Wann ist eine Knotenmenge C ⊆ V eine Clique in einem Graphen G = (V, E)?
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### Subbaustein: Complementärgraph: Independent Set in G ist Clique in G̅
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**Muster:** Welche Beziehung besteht zwischen einem Independent Set in G und einer Clique in G̅?
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### Subbaustein: Beide Probleme sind NP-vollständig
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**Muster:** Welche fundamentale Konsequenz ergibt sich aus Satz 6.16, wenn ein NP-vollständiges Problem in P liegt?
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### Subbaustein: Frage: Existiert Independent Set bzw. Clique der Größe k in G?
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**Muster:** Was ist die Eingabe und was die Ausgabe bei den Entscheidungsproblemen k-Clique und k-Independent-Set?
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### Subbaustein: Komplementarität: Independent Set in G = Clique im Komplementgraphen
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**Muster:** Warum sind Clique und Independent Set gegenseitig in Polynomialzeit aufeinander reduzierbar?
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### Subbaustein: CLIQUE: Knotenmenge in der je zwei Knoten durch Kante verbunden sind
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**Muster:** Welche Bedingung müssen alle Knotenpaare einer Clique erfüllen?
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### Subbaustein: Komplementär: IS in G = CLIQUE in G̅
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**Muster:** Was bleibt bei der Bildung des Komplementgraphen G̅ gleich und was ändert sich?
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### Subbaustein: Existenz von IS bzw. CLIQUE der Größe k ist NP-vollständig
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**Muster:** Welche untere Schranke für die Laufzeit von Algorithmen für Independent Set folgt aus der ETH?
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### Subbaustein: Formale Sprachen: CLIQUE = {(G,k) | G enthält Clique ≥ k}
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**Muster:** Wie ist die formale Sprache CLIQUE über dem Alphabet Σ = {0, 1} kodiert?
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### Subbaustein: Formale Sprachen: INDEPENDENT-SET = {(G,k) | G enthält IS ≥ k}
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**Muster:** Welche Struktur hat die formale Sprache INDEPENDENT-SET?
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### Subbaustein: Komplementgraph G̅: Kantenmenge E̅ = {(u,v) | u≠v und {u,v} ∉ E}
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**Muster:** Wie unterscheiden sich die Kantenmengen von G und seinem Komplementgraphen G̅?
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### Subbaustein: K-Clique in G entspricht K-Unabhängige-Menge in G̅
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**Muster:** Bleibt die Größe k bei der Reduktion von k-Clique auf k-Independent-Set erhalten?
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### Subbaustein: Beide Probleme sind in NP (Verifizierer existiert)
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**Muster:** Welche Eigenschaft müssen Zertifikat und Verifizierer für ein Problem in NP erfüllen?
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### Subbaustein: NP-vollständig via gegenseitige Reduktion über Komplementgraph
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**Muster:** Wie folgt aus Korollar 6.18 die NP-Vollständigkeit von Independent Set?
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## BAUSTEIN: Reduktion CLIQUE → CLIQUE-NOMEMBER
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### Subbaustein: Füge isolierten Knoten v zu G hinzu: G' = G ∪ {v}
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**Muster:** Wie wird bei der Reduktion von CLIQUE auf CLIQUE-NOMEMBER der neue Graph G' konstruiert?
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### Subbaustein: G hat k-Clique ⟺ G' hat (k+1)-Clique mit v
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**Muster:** Warum kann der hinzugefügte Knoten v in keiner gültigen k-Clique von G' enthalten sein?
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### Subbaustein: Reduktion beweist CLIQUE-NOMEMBER ∈ NP-vollständig
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**Muster:** Welche drei Bedingungen müssen erfüllt sein, damit CLIQUE-NOMEMBER als NP-vollständig gilt?
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### Subbaustein: CLIQUE: Eingabe Graph G, Frage: existiert K-clique?
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**Muster:** Was ist die Eingabe und was ist die Frage beim Entscheidungsproblem CLIQUE?
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### Subbaustein: CLIQUE-NOMEMBER: existiert Knoten der nicht in jeder maximalen Clique liegt?
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**Muster:** Wie ist das Problem CLIQUE-NOMEMBER gemäß Skript 6.50 formal definiert?
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### Subbaustein: Reduktion: isolierten Knoten v zu G hinzufügen → G'
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**Muster:** Welche Elemente werden bei der Reduktion von CLIQUE auf CLIQUE-NOMEMBER gegenüber der ursprünglichen Instanz verändert?
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### Subbaustein: G' hat Clique der Größe k genau dann wenn G eine hat
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**Muster:** Warum bleibt die Cliquengröße k bei der Reduktion unverändert?
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### Subbaustein: v ist in G' in keiner k-Clique (isoliert)
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**Muster:** Welche Eigenschaft hat der Knoten v in der konstruierten Instanz (G', v, k)?
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### Subbaustein: G hat Clique der Größe k ⟺ G' hat Clique der Größe k ohne v
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**Muster:** Wie hängt eine k-Clique in G mit einer k-Clique in G' zusammen?
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### Subbaustein: Polynomielle Transformation
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**Muster:** Warum ist die beschriebene Reduktion in polynomieller Zeit berechenbar?
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## BAUSTEIN: Independent Set
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### Subbaustein: Für alle u, v ∈ S gilt: {u, v} ∉ E
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**Muster:** Welche Bedingung muss für je zwei Knoten eines Independent Set gelten?
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### Subbaustein: Komplementär zur Clique
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**Muster:** Wie hängt ein Independent Set in G mit einer Clique im Komplementgraphen G' zusammen?
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### Subbaustein: NP-vollständiges Problem
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**Muster:** Welche Komplexitätsklasse enthält Independent Set und wie wurde dies bewiesen?
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### Subbaustein: Knotenmenge ohne Kanten zwischen je zwei Knoten der Menge
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**Muster:** Was bedeutet es, dass die Knoten eines Independent Set paarweise nicht adjazent sind?
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### Subbaustein: Komplementär zum Clique-Problem
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**Muster:** In welchem Graphen entspricht ein Independent Set einer Clique?
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### Subbaustein: Independent Set S⊆V: keine Kante zwischen je zwei Knoten in S
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**Muster:** Wie unterscheidet sich ein Independent Set von einer beliebigen Teilmenge von V?
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### Subbaustein: INDEPENDENT-SET = {(G,k) | G enthält unabhängige Menge der Größe ≥k}
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**Muster:** Welche Sprache formalisiert das Entscheidungsproblem Independent Set?
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## BAUSTEIN: Tiefensuche (DFS) für Zykluserkennung
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### Subbaustein: Weiß: unbesuchter Knoten, Grau: aktuell in Bearbeitung, Schwarz: fertig
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**Muster:** Welche Farbe hat ein Knoten während er von der DFS bearbeitet wird und welche nach Abschluss?
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### Subbaustein: DFS-Zykluserkennung in O(V+E) bei adjacency List
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**Muster:** Warum beträgt die Laufzeit der DFS-Zykluserkennung bei Adjazenzliste Θ(|V|+|E|)?
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### Subbaustein: Schwarz: vollständig bearbeiteter Knoten
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**Muster:** Wann wird ein Knoten in der DFS schwarz gefärbt?
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### Subbaustein: Rückkante (grau → weiß): signalisiert Zyklus
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**Muster:** Zu einem Knoten welcher Farbe muss eine Kante führen, um einen Zyklus anzuzeigen?
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### Subbaustein: Tree Edge (weiß): Kante zu unbesuchtem Knoten
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**Muster:** Welche Kante wird als Tree Edge bezeichnet?
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### Subbaustein: Grau: aktuell in Bearbeitung (in DFS-Weite)
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**Muster:** Was bedeutet es, wenn ein Knoten während der DFS grau gefärbt ist?
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## BAUSTEIN: Turingmaschine für 0^n (Zweierpotenz)
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### Subbaustein: Eingabe: n Nullen in unärer Codierung
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**Muster:** In welcher Codierung wird die Eingabezahl n der TM für 0^n dargestellt?
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### Subbaustein: Akzeptiert nur wenn n = 2^k für ein k ≥ 0
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**Muster:** Nach welchem Kriterium entscheidet die TM, ob eine Eingabe akzeptiert wird?
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### Subbaustein: Phase 1: Markiere jede zweite 0 mit x (alternierend)
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**Muster:** Wie markiert die TM die Nullen im ersten Schritt?
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## BAUSTEIN: 3-SAT zu 3-Färbung Reduktion
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### Subbaustein: Knotenzahl linear in Variablen und Klauseln
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**Muster:** Aus welchen Komponenten setzt sich die Knotenmenge V der konstruierten Instanz zusammen?
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### Subbaustein: Dreieck erzwingt drei verschiedene Farben für die drei Knoten
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**Muster:** Warum benötigen die drei Knoten xi, x̄i und vi eines jeden Dreiecks drei verschiedene Farben?
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## BAUSTEIN: MC-Knapsack
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### Subbaustein: Ziel: Maximierung des Gesamtwerts
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**Muster:** Was ist die Zielfunktion beim Maximum-Cut Knapsack Problem?
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**Gesamt: 48 Frage-Muster**
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